1. Равномерное прямолинейное движение

[Сергей]

В2.1 Пассажирский поезд длиной l₁ =150 м, идущий со скоростью, модуль которой υ₁ = 72,0 км/ч, обгонит идущий в том же направлении  по параллельному пути товарный поезд длиной l₂ = 300м, модуль скорости которого составляет υ₂ = 54,0 км/ч, за время, равное ...с

Решение.
Предположим, что товарный поезд не движется. Тогда пассажирский поезд обгоняет его с относительной скоростью

υ = υ₁ - υ₂

для обгона пассажирскому поезду требуется пройти расстояние

L = l₁ + l₂ = υ·t

\[ t=\frac{{{l}_{1}}+{{l}_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Ответ: 90 с.

[Сергей]

В2.2 Эскалатор спускает идущего по нему человека за время t₁ = 1,0 мин. Если человек будет идти по эскалатору вдвое быстрее, то он спустится за t₂ = 45 с. Стоя на эскалаторе, человек спустится за ... с.

Решение.
Будем рассматривать движение человека в системе отсчета связанной с землей. Во всех случаях пассажир перемещается на одинаковое расстояние S. Тогда

S = (υ+υ_e)·t₁ (1); S = (2·υ+υ_e)·t₂ (2); S = υ_e·t (3)

Приравняем (2) и (1)

(2·υ+υ_e)·t₂ = (υ+υ_e)·t₁

Подставив численные значения, легко видеть, что

υ_e = 2·υ

Тогда из (2) и (3)

(2·υ+2·υ) t2 = 2·υ·t; t = 2·t₂

Ответ: 90 с.

Примечание. Возможно такой способ решения будет быстрее, чем предложенное решение в общем виде задачи В1.4

[Сергей]

В2.3 Катер проходит расстояние между двумя пунктами по течению pеки за время t₁ = 3,0 ч, а плот — за t₂ =12 ч. На обратный путь катер затратит ... ч.

Решение.
Свяжем систему отсчета с землей. Тогда скорость катера по течению (υ + υ_t), скорость плота равна скорости течения υ_t, скорости катера против течения (υ - υ_t). Тогда затраченное время движения катера по течению t₁, плота  t₂ и время движения катера против течения t
\[ {{t}_{1}}=\frac{s}{\upsilon +{{\upsilon }_{t}}}\,(1);\,\,{{t}_{2}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{t}}}\,(2);\,\,t=\frac{s}{\upsilon -{{\upsilon }_{t}}}\,(3) \]
Из (1) с учетом (2)
\[ \upsilon =\frac{s-{{\upsilon }_{t}}\cdot {{t}_{1}}}{{{t}_{1}}}=\frac{{{\upsilon }_{t}}\cdot {{t}_{2}}-{{\upsilon }_{t}}\cdot {{t}_{1}}}{{{t}_{1}}}=\frac{{{\upsilon }_{t}}\cdot \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}{{{t}_{1}}} \]
Подставив численные значения получим, что υ = 3·υ_t. Тогда
\[ t=\frac{s}{\upsilon -{{\upsilon }_{t}}}=\frac{{{\upsilon }_{t}}\cdot {{t}_{2}}}{3\cdot {{\upsilon }_{t}}-{{\upsilon }_{t}}}=\frac{{{t}_{2}}}{2} \]
Ответ: 6 ч.

[Сергей]

В2.4 Два тела движутся навстречу друг другу так, что расстояние между ними за каждые t₁ = 10 с уменьшается на l₁ = 16 м. Если эти тела будут двигаться в одном направлении с прежними по величине скоростями, то за t₂ = 5,0 с расстояние между ними увеличится на l₂ =3,0 м. Разность модулей скоростей тел составляет ... см/с.

Решение.
При движении тел навстречу друг другу и в одном направлении их относительные скорости будут равны соответственно
\[ {{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{l}_{1}}}{{{t}_{1}}};\,\,\,\,{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{l}_{2}}}{{{t}_{2}}} \]
υ₁ = 1,1 м/с = 110 см/с;   υ₂ = 0,5 м/с = 50 см/с

Δυ = υ₁ - υ₂ = 60 см/с

Ответ: 60 см/с

[Сергей]

В2.5 На первой половине пути автобус двигался со скоростью, в n=8,0 раза большей, чем на второй половине. Модуль средней скорости автобуса на всем пути υ = 16 км/ч. Модуль скорости автобуса на первой половине пути составляет ... км/ч.

Решение.
Средняя скорость пути – скалярная физическая величина, численно равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден. Тогда, согласно условию задачи
\[ \begin{align}
  & \upsilon =\frac{s}{t}=\frac{\frac{1}{2}\cdot {{s}_{1}}+\frac{1}{2}\cdot {{s}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{s}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}; \\
 & {{t}_{1}}=\frac{s}{2\cdot {{\upsilon }_{1}}};\,\,\,\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{s}{2\cdot {{\upsilon }_{2}}};\,\,\, \\
 & \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}} \\
\end{align}
 \]
По условию задачи υ₁=n·υ₂. Тогда
\[ \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{1}}}{n+1};\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{1}}=\frac{\upsilon \cdot \left( n+1 \right)}{2} \]
Ответ: 72 км/ч

[Сергей]

В2.6 В момент времени = 1,0 с тело находилось в точке В с координатами х₁ =-2,0 м и у₁ = 2,0 м. К моменту времени t₂ =3,0 с тело переместилось в точку с координатами х₂ = 2,0 м и у₂ = -1,0 м. К моменту времени t₃ = 9,0с модуль перемещения тела от точки В составит... м.

Решение.
 За время Δt = t₂ – t₁ = 2 с, модули перемещения тела вдоль оси Ох и Оу равны соответственно
\[ \Delta {{r}_{x}}=\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|;\,\,\,\,\Delta {{r}_{y}}=\left| {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right| \]
Как видно из рисунка
\[ \Delta r=\sqrt{\Delta r_{x}^{2}+\Delta r_{y}^{2}} \]
Δr = 5 м.
При равномерном прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Тогда за время Δt = t₃ – t₁ = 8 с, модуль перемещения тела от точки В составит 20 м
Ответ: 20 м.

[Сергей]

В2.7 Из пункта А в пункт В против течения реки со скоростью, модуль которой υ₁ = 3 км/ч относительно воды, плывет лодка. Из В в А одновременно с лодкой отходит катер, модуль скорости которого относительно воды υ₂ = 10 км/ч. За время движения лодки между пристанями катер успевает пройти это расстояние n = 4 раза и прибывает в пункт В одновременно с лодкой. Модуль скорости течения реки равен ... км/ч.

Решение. Скорость лодки относительно берега υ = υ₁ – υ_t, (υ_t – скорость течения), для катера по течению υ’ = υ₂ + υ_t, против течения – υ” = υ₂ + υ_t.
Время движения лодки
\[ {{t}_{l}}=\frac{l}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{t}}} \]
Согласно условию задачи, за это время катер успевает два раза пройти расстояние по течению и 2 раза  против течения. Тогда время движения катера
\[ {{t}_{k}}=\frac{2\cdot l}{{{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{t}}}+\frac{2\cdot l}{{{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{t}}}; \]
Приравняем оба уравнения
\[ \begin{align}
  & \frac{l}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{t}}}=\frac{2\cdot l}{{{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{t}}}+\frac{2\cdot l}{{{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{t}}}; \\
 & \frac{1}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{t}}}=\frac{4\cdot {{\upsilon }_{2}}}{\upsilon _{2}^{2}-\upsilon _{t}^{2}} \\
\end{align}
 \]
Преобразовав и подставив численные значения в последнее выражение, придем к квадратному уравнению
\[ \upsilon _{t}^{2}-40\cdot {{\upsilon }_{t}}+20=0 \]
Корни данного уравнения υ_t1 = 39.5 км/ч и υ_t2 = 0.5 км/ч
Первый корень не подходит по условию.
Ответ: 0.5 км/ч

[Сергей]

В2.8 Два человека одновременно ступают на эскалатор с противоположных сторон и двигаются навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями относительно эскалатора υ₁ = 200 см/с. Если длина эскалатора l = 100 м, а модуль его скорости υ₂ = 150 см/с, то они встретятся на расстоянии от входа на эскалатор, равном ... м.

Решение.
Скорости относительно земли по ходу эскалатора и против хода эскалатора равны соответственно

υ' = υ₁ + υ₂ и υ” = υ₁ - υ₂

Пройденный путь равен соответственно

l₁ = υ'·t = (υ₁ + υ₂)·t (1) и l₂ = υ”·t = (υ₁ - υ₂)·(2)

Разделим (1) на (2) и учтем, что l₂ = l – l₁
\[ \frac{{{l}_{1}}}{l-{{l}_{1}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}};\,\,\,\,\,\,{{l}_{1}}=\frac{l\cdot \left( {{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}} \right)}{2\cdot {{\upsilon }_{1}}} \]
Ответ: 87,5 м

[Сергей]

В2.9 Модуль скорости катера υ₁= 7,0 м/с, модуль скорости течения реки υ₂ =3,0 м/с. Когда катер двигался против течения, с него в воду с бросили поплавок. Затем катер прошел против течения расстояние s = 4,2 км, повернул обратно и догнал поплавок. Общее время движения катера составляет ... мин.
Решение.
Модуль скорости катера относительно земли при движении против течения реки

υ = υ₁ – υ₂

Время прохождения расстояния s против течения
\[ {{t}_{1}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Поплавок за это время удалится на расстояние
\[ {{s}_{1}}={{\upsilon }_{2}}\cdot {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}\cdot s}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Относительно поплавка повернувший катер движется со скоростью υ1, и время, необходимое ему, чтобы догнать «неподвижный» поплавок
\[ {{t}_{2}}=\frac{s+\frac{{{\upsilon }_{2}}\cdot s}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Общее время движения катера
\[ t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{2\cdot s}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Ответ: 35 мин

[Сергей]

В2.10 Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью, модуль которой υ₁ = 12 км/ч. Затем половину оставшегося времени он ехал со скоростью, модуль которой υ₂ = 6,0 км/ч, а затем до конца пути — со скоростью, модуль которой υ₃ = 4,0 км/ч. Модуль средней скорости велосипедиста на всем пути составляет ... км/ч.

Решение.
 Средняя скорость пути – скалярная физическая величина, численно равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
\[ <\upsilon >=\frac{s}{t} \]
Из условия следует, что:
\[ {{t}_{1}}=\frac{s}{2\cdot {{\upsilon }_{1}}}\,(1);\,\,\,{{t}_{2}}={{t}_{3}}\,(2);\,\,\,\frac{1}{2}\cdot s={{s}_{2}}+{{s}_{3}}\,(3); \]
С учетом (2)
\[ <\upsilon >=\frac{s}{{{t}_{1}}+2\cdot {{t}_{2}}} \]
Из (3) с учетом (2) следует что
\[ \frac{1}{2}\cdot s={{s}_{2}}+{{s}_{3}}={{\upsilon }_{2}}\cdot {{t}_{2}}+{{\upsilon }_{3}}\cdot {{t}_{2}};\,\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{s}{2\cdot \left( {{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{3}} \right)} \]
Тогда
\[ <\upsilon >=\frac{s}{{{t}_{1}}+2\cdot {{t}_{2}}}=\frac{s}{\frac{s}{2\cdot {{\upsilon }_{1}}}+2\cdot \frac{s}{2\cdot \left( {{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{3}} \right)}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot \left( {{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{3}} \right)}{2\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{3}}} \]
Ответ: 7,1 км/ч