1. Равномерное прямолинейное движение

[Сергей]

А2.1    Материальная точка движется прямолинейно так, что в момент времени t₁ = 4 с ее координата х₁ = 6 м, а к моменту времени t₂ =8 с ее координата х₂ = -2 м. Путь и проекция перемещения точки за t = 2 с составляют:
1) 5 м; 5 м;   2) 2 м;-1м;   3). 4 м; -4 м;   4) 8 м;-2 м;   5) 8 м; -8 м.

Решение. Найдем проекцию скорости материальной точки на ось Ох
 \[ {{\upsilon }_{x}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \]
Для равномерно и прямолинейно движущегося тела проекция перемещения на ось Ох

Δr_x = υ_x·t

Пройденный путь S равен модулю перемещения

S = υ·t

Ответ: 3). 4 м; -4 м;

[Сергей]

А2.2 По оси Ох движутся две точки, координаты которых меняются по законам х₁ = 10 + 2,0t и х₂ = 4-5,0t. Точки встретятся в момент времени:
1) 3,5 с;   2) 2,0 с;   3) 3,0 с;   4) 7,0 с;   5) точки вообще не встретятся.

Решение. В момент встречи точек х₁ = х₂. Приравняв и решив уравнения получим отрицательное время. Вывод: Точки не встретятся никогда
Ответ: 5) точки вообще не встретятся.

[Сергей]

А2.3 Материальная точка начала равномерное движение со скоростью, модуль которой υ = 1,0 м/с, из точки А, являющейся вершимой равностороннего треугольника АВС со стороной а= 10 см Но сколько раз пройденный путь за время t = 0,50 с отличается от модули перемещения за то же время?
1) В 50 раз больше;   2) в 50 раз меньше;   3) в 5,0 раза больше;4) в 5,0 раза меньше;    5) в 2,0 раза больше.

Решение: Определим путь пройденный точкой за время t = 0,50 с

S = υ·t = 0,50 м

Учитывая, что сторона треугольника а= 10 см, а начало движения вершина А, то точка окажется в вершине треугольника С. Перемещение – вектор соединяющий начальную и конечную точки траектории движения. Значит модуль вектора перемещения Δr = АС = а. Тогда
  \[  \frac{S}{\Delta r}=\frac{0,50}{0,1}=5,0 \]
Ответ 3) в 5,0 раза больше

[Сергей]

А2.4 Движения двух точек задаются уравнениями; х = -1 + 2t (м) и у = 1 + 1,5t (м). Расстояние между ними через время t= 2 с составит:
1) 1м;      2) 3 м;   3) 4м;      4) 5 м;    5) 7 м.

Решение. По условию одна точка движется вдоль оси Ох, а другая – вдоль оси Оу. Через время t= 2 с координаты точек будут равны: х = 3 м, у = 4 м. Тогда расстояние между ними
 \[ S=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \]
Ответ: 4) 5 м;

[Сергей]

А2.5 Первую половину времени движения вертолет переменится на север со скоростью, модуль которой υ₁ =30 м/с, а вторую половину времени — на восток со скоростью, модуль которой υ₂ = 40 м/с. Разность между средней путевой скоростью и модулем скорости перемещения составляет:
1) 5,0 м/с;   2) 10 м/с;   3) 15 м/с;   4) 20 м/с;   5) 8,0 м/с.

Решение. Средняя скорость пути <υ> - скалярная физическая величина, численно равная отношению пройденного пути ко времени, за который этот путь пройден.
 \[ <\upsilon >=\frac{s}{t}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}}{\frac{1}{2}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot t}=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot \frac{t}{2}+{{\upsilon }_{2}}\cdot \frac{t}{2}}{t}=\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{2} \]
<υ> = 35 м/с
Средняя скорость перемещения – векторная физическая величина, численно равная отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло, и направлена вдоль перемещения. Тогда Модуль скорости перемещения
 \[ \left| {\vec{\upsilon }} \right|=\frac{\Delta r}{t} \]
Определим перемещение. Как видно из рисунка
 \[ \Delta r=\sqrt{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot t}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\upsilon }_{2}}\cdot t}{2} \right)}^{2}}}=25\cdot t \]
Модуль скорости перемещения равен 25 м/с, а разность между средней путевой скоростью и модулем скорости перемещения составляет 10 м/с
Ответ: 2) 10 м/с;

[Сергей]

А2.6 Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ₁ =54 км/ч и υ₂ =36 км/ч. Длина второго поезда l₂ =250м. Пассажир, сидящий в первом поезде, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд в течение времени:
1) 5с;      2) 12 с;    3) 15с;   4) 20с; 5) 10 с.

Решение. Согласно закона сложения скоростей скорость первого поезда
 \[ {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{\vec{\upsilon }}_{12}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}} \]
Где υ₁₂ – скорость первого поезда относительно второго. Будем считать, что первый поезд движется вдоль оси Ох. Тогда в проекции на эту ось

υ₁ = υ₁₂-υ₂;     υ₁₂ = υ₁+υ₂

Тогда пассажир, сидящий в первом поезде, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд в течение времени:
 \[ t=\frac{{{l}_{2}}}{{{\upsilon }_{12}}}=\frac{{{l}_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}} \]
Ответ: 5) 10 с

[Сергей]

А2.7 Пловец переплывает реку, двигаясь перпендикулярно берегу, со скоростью, модуль которой υ1 = 0,60 м/с относительно воды. Если модуль скорости течения реки равен υ2 = 0,80 м/с, то модуль скорости пловца относительно берега составляет:
 1) 0,20 м/с;      2) 0,40 м/с;   3) 0,52 м/с;   4) 1,0 м/с;   5) 1,4 м/с.

Решение. На мой взгляд, в условии задачи есть некоторая неточность. Чтобы выдержать направление перпендикулярное берегу, пловец должен плыть под некоторым углом к течению реки. Но при таких значениях скорости пловца  относительно воды и скорости воды, он не сможет двигаться перпендикулярно берегу. Будем считать, что пловец двигается перпендикулярно течению. Скорость пловца относительно берега равна векторной сумме его скорости относительно воды и скорости воды относительно берега.
 \[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}};\,\,\,\,\,\,\upsilon =\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}} \]
4) 1,0 м/с;

[Сергей]

А2.8. Велосипедист едет со скоростью, модуль которой υ = 3 м/с. Модули скорости верхней и нижней точек обода колеса велосипеда относительно земли составляют:
1) 6 м/с; 3 м/с;   2) 3 м/с; 3 м/с;   3) 3 м/с; 0; 4) 6 м/с; 0;   5) 3 м/с; 6 м/с.

Решение. Каждая точка колеса участвует в двух движениях: движется по окружности со скоростью \[ {{\vec{\upsilon }}_{k}} \] относительно оси колеса и движется поступательно, как и ось колеса, со скоростью \[ {{\vec{\upsilon }}_{0}} \] относительно дороги.
По закону сложения скоростей скорости точек 1 и 2 колеса в системе отсчета, связанной с Землей
\[ {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{\vec{\upsilon }}_{k1}}+{{\vec{\upsilon }}_{0}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\vec{\upsilon }}_{2}}={{\vec{\upsilon }}_{k2}}+{{\vec{\upsilon }}_{0}} \]
υ_k1 направлена по касательной к колесу и противоположно υ₀. Тогда υ₁= υ₀ - υ_k1. Скорость υ₁ равна скорости дороги, т.е. υ₁ = 0. Поэтому υ₀ = υ_k1. Все точки обода находятся на одном расстоянии от оси, следовательно, модули линейных скоростей одинаковы, т.е υ_k2 = υ_k1 = υ₀. Следовательно

υ₂= υ_k2 + υ₀ = 2 υ₀

ответ:  4) 6 м/с; 0;

[Сергей]

А2.9 Два человека бегают по дорожке стадиона длиной l = 400 м. Первый пробегает круг за время t₁ = 50 с, второй — за t₂ = 60 с. Сколько раз они встретятся при забеге на дистанцию L = 4 км, если стартуют одновременно и побегут в одну сторону?
1) 1;   2) 2;   3) 3;   4) 4;   5) 5.
Решение.
Будем считать, что второй человек неподвижен. Тогда согласно закону сложения скоростей. Скорость первого человека относительно второго равна
\[ {{\vec{\upsilon }}_{12}}={{\vec{\upsilon }}_{1}}-{{\vec{\upsilon }}_{2}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{12}}={{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}} \]
 так как они двигаются в одном направлении.
Время, через которое они встретятся равно
 \[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}=\frac{l}{\frac{l}{{{t}_{1}}}-\frac{l}{{{t}_{2}}}}=\frac{{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=300\,c \]
Время, которое требуется первому человеку для преодоления расстояния L
 \[ {{t}_{0}}=\frac{L}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{L}{\frac{l}{{{t}_{1}}}}=\frac{L\cdot {{t}_{1}}}{l}=500\,c \]
Таким образом они встретятся при забеге один раз
Ответ: 1) 1;

[Сергей]

А2.10 Теплоход длиной l = 300 м движется по озеру с некоторой скоростью. Катер со скоростью, модуль которой υ₁ = 90,0 км/ч, проходит от кормы до носа движущегося теплохода и обратно за время t = 37,5 с. Модуль скорости теплохода составляет:
1) 10,0 м/с;   2) 15,0 м/с    3) 25,0 м/с;   4) 32,0 м/с;   5) 36,0 м/с.

Решение. В первом случае катер движется в направлении движения, обгоняя теплоход, во втором случае он движется в противоположную сторону движения теплохода. Общее время движения катера t = t₁ +t₂, где t₁ – время за которое катер обгоняет теплоход, t₂ – время движения навстречу теплоходу.
 \[ {{t}_{1}}=\frac{L}{{{\upsilon }_{ot1}}};\,\,\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{L}{{{\upsilon }_{ot2}}} \]
Где υ_ot1 = υ₁ – υ₂ и υ_ot2 = υ₁ + υ₂ скорости катера относительно теплохода в первом и втором случаях соответственно.
 \[ t=\frac{L}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}+\frac{L}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}};\,\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{1}^{2}-\frac{2\cdot L\cdot {{\upsilon }_{1}}}{t}} \]
Ответ: 2) 15,0 м/с