30. Линзы. Оптические приборы

[Виктор]

10. Лупа позволяет получить пятикратное увеличение. Оптическая сила этой лупы равна:
1)  5 дптр;   2)  10 дптр;     3)  20 дптр;     4)  25 дптр;    5)  –10 дптр.
Решение: увеличение лупы (Г = 5) с учётом оптической силы D = 1 / F
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{d_{0} }{F} =d_{0} \cdot D,} \\ {D=\frac{\Gamma }{d_{0}}.} \end{array} \]
здесь d₀ = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза человека.
Ответ: 3)  20 дптр.

[Виктор]

1. На тонкую собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей. Продолжения лучей пересекаются за линзой на расстоянии l₁  = 50 см, а преломлённые лучи – на расстоянии l₂ = 25 см. Если обе точки лежат на главной оптической оси, то фокусное расстояние составляет:
1)  25 см;   2)  33 см;     3)  50 см;    4)  75 см;     5)  100 см.
Решение: рассмотрим крайний луч. Поскольку он, падает на собирающую линзу не параллельно оптической оси, то после преломления он должен пройти через побочный фокус. Проведём побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу, на пересечении этой оси с преломлённым лучом и будет расположен побочный фокус линзы F´. Опустим  из него перпендикуляр на главную оптическую ось (фокальная плоскость) и получим положение главного фокуса линзы F (см. рисунок)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить две пары подобных треугольников: треугольники FF'O и OCВ, а также FF'А и OCА. Причём  OF = F – фокусное расстояние линзы (его нужно определить), OA = l₂, OB = l₁ - согласно условия задачи. Из подобия этих треугольников, следует
\[ \begin{array}{l} {\frac{FF'}{OC} =\frac{FO}{OB} =\frac{F}{l_{1}},} \\ {\frac{FF'}{OC} =\frac{FA}{OA} =\frac{F-l_{2}}{l_{2}} ,} \end{array} \]
Таким образом, приравняв, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{F}{l_{1}} =\frac{F-l_{2}}{l_{2}},} \\ {F=\frac{l_{1} \cdot l_{2}}{l_{1} -l_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  50 см.

[Виктор]

2. Если расстояние l от предмета до его изображения в k = 5 раз больше, чем расстояние d от предмета до линзы, то её увеличение составляет:
1)  2;      2)  3;     3)  4;      4)  5;     5)  10.
Решение: если d – расстояние от предмета до линзы, то  f – расстояние от линзы до изображения, тогда  l = d + f -  расстояние от предмета до его изображения. Линейное увеличение линзы  Г = f / d.  По условию задачи l = 5∙d. Тогда
\[ d+f\; =5\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; \; }f=4\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =\frac{f}{d} =4. \]
Ответ: 3)  4.

[Виктор]

3. Предмет расположен на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии d = 20 см от неё. Если действительное изображение предмета получено на расстоянии 4F от линзы (F – фокусное расстояние), то величина F равна:
1)  5,0 см;   2)  10 см;     3)  15 см;    4)  20 см;     5)  40 см.
Решение: запишем формулу линзы (все слагаемые положительные, т.к. линза собирающая, изображение и предмет действительные), учтём, что по условию задачи  f = 4F:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{4\cdot F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} -\frac{1}{4\cdot F} =\frac{1}{d} ,} \\ {\frac{3}{4\cdot F} =\frac{1}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }F=\frac{3\cdot d}{4} .} \end{array} \]
Ответ: 3)  15 см

[Виктор]

4. С помощью линзы на экране получено изображение предмета, в 4 раза по площади больше, чем сам предмет. Если предмет расположен на расстоянии d = 30 см от линзы, то фокусное расстояние линзы равно:
1)  7,5 см;   2)  15 см;     3)  20 см;    4)  60 см;     5)  120 см.
Решение: пусть высота предмета H, ширина h, высота изображения H′, ширина h′. Тогда площадь предмета S = H∙h, изображения S′ = H′∙h′. По условию задачи S′=4∙S. Размеры предмета и изображения можно связать линейным увеличением, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{d} =\frac{H'}{H} =\frac{h'}{h} ,} \\ {H'=\Gamma \cdot H,{\rm \; \; \; \; \; \; }h'=\Gamma \cdot h,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }f=\Gamma \cdot d,} \\ {S'=4\cdot S,{\rm \; \; \; \; }H'\cdot h'=4\cdot H\cdot h,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma \cdot H\cdot \Gamma \cdot h=4\cdot H\cdot h,} \\ {\Gamma ^{2} =4,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =2.} \end{array} \]
Запишем формулу линзы (все слагаемые положительные, т.к. линза собирающая, изображение действительное т.к. получено на экране:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma +1}{\Gamma \cdot d},} \\ {F=\frac{\Gamma \cdot d}{\Gamma +1}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  20 см.

[Виктор]

5. Если мнимое изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 30 см от неё, то оптическая сила линзы равна:
1)  1,0 дптр;   2)  2,3 дптр;     3)  3,3 дптр;     4)  6,6 дптр;    5)  10 дптр.
Решение: применим формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f}, \]
Здесь изображение мнимое, поэтому появился знак минус. После подстановки данных в единицах СИ
Ответ: 3)  3,3 дптр.

[Виктор]

6. Линейный размер H действительного изображения в 2 раза больше предмета. Если расстояние от предмета до линзы d = 40 см, то расстояние от линзы до изображения равно:
1)  10 см;   2)  20 см;     3)  40 см;    4)  80 см;     5)  1,6 м.
Решение: под линейным увеличением Г линзы понимают отношение линейного размера изображения (расстояния до изображения от линзы) к линейному размеру предмета (расстояния до предмета от линзы), т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{H}{h} =\frac{f}{d} =2,} \\ {f=2\cdot d.} \end{array} \]
Ответ: 4)  80 см.

[Виктор]

7. Предмет расположен на расстоянии d = 50 см от линзы с оптической силой D = 2,5 дптр. Если предмет приблизить к линзе на Δd = 5,0 см, то его изображение увеличится:
1)  в 0,50 раза;   2)  в 1,1 раза;     3)  в 1,4 раза;    4)  в 1,8 раза;     5)  в 2,0 раза.
Решение: пусть h – высота предмета, Н – высота изображения в первой ситуации, H′ -  высота изображения во втором случае, f – расстояние до изображения в первом, а f′ – во втором случаях. Составим систему уравнений, используя формулы тонкой линзы и линейного увеличения для двух случаев
\[ \left\{\begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {D=\frac{1}{d-\Delta d} +\frac{1}{f'}} \\ {\frac{H}{h} =\frac{f}{d} ,} \\ {\frac{H'}{h} =\frac{f'}{d-\Delta d}.} \end{array}\right. , \]
Из первых двух уравнений найдём расстояния до изображения, подставим их  в уравнения линейного увеличения и разделим уравнения друг на друга
\[ \begin{array}{l} {f=\frac{d}{d\cdot D-1} =2;{\rm \; \; \; \; \; }f'=\frac{d-\Delta d}{\left(d-\Delta d\right)\cdot D-1} =3,6;} \\ {\frac{H'}{H} =\frac{f'}{d-\Delta d} \cdot \frac{d}{f} =2.} \end{array} \]
Ответ: 5)  в 2,0 раза.

[Виктор]

8. Источник света расположен на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии d₁ = 20 см от неё, а его мнимое изображение – на расстоянии f₁ = 30 см. Если источник будет находиться на расстоянии d₂ = 10 см от линзы, то расстояние от его изображения до линзы составит:
1)  6,0 см;   2)  6,7 см;     3)  12 см;    4)  15 см;     5)  45 см.
Решение: собирающая линза даёт мнимое изображение при условии, что предмет расположен перед линзой на расстоянии меньше фокусного. А т.к. источник придвинули к линзе, то и во втором случае будет мнимое изображение. Запишем формулу линзы для двух случаев, с учётом правила знаков
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d_{1}} -\frac{1}{f_{1}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }D=\frac{1}{d_{2}} -\frac{1}{f_{2}} ,} \\ {\frac{1}{d_{1}} -\frac{1}{f_{1}} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{2}} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{f_{1} } =\frac{50}{6},} \\ {f_{2} =\frac{6}{50} =0,12.} \end{array} \]
Ответ: 3)  12 см.

[Виктор]

А2.9. Рассеивающую линзу с оптической силой D = – 0,5 дптр перемещают вдоль главной оптической оси относительно предмета. Перемещение, при котором линейное увеличение возрастёт от Г₁ = 0,2 до Г₂ = 0,5, составляет
1)  2 м;   2)  4 м;     3)  6 м;    4)  8 м;     5)  9 м.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое) и увеличения
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d,} \\ {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot d} ,{\rm \; \; \; \; \; }d=\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot D}.} \end{array}  \]
Тогда искомое перемещение будет равно d₁ – d₂, т.е.
\[ d_{1} -d_{2} =\frac{\Gamma _{1} -1}{\Gamma _{1} \cdot D} -\frac{\Gamma _{2} -1}{\Gamma _{2} \cdot D} =\frac{1}{D} \cdot \frac{\Gamma _{1} -\Gamma _{2} }{\Gamma _{1} \cdot \Gamma _{2}}. \]
Ответ: 3)  6 м.