30. Линзы. Оптические приборы

[Виктор]

А2.10. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см, расстояние от предмета до переднего фокуса l = 5 см. Если линейный размер предмета h = 2 см, то размер его действительного изображения равен:
1)  1 см;   2)  2 см;     3)  3 см;    4)  4 см;     5)  5 см.
Решение: пусть Н – высота изображения,  f –  расстояние до изображения. Расстояние от предмета до линзы d =  F + l  = 15 см. Воспользуемся формулами тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }\frac{H}{h} =\frac{f}{d} ,} \\ {f=\frac{F\cdot d}{d-F} =\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{\left(F+l\right)-F} =\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l} ,} \\ {H=\frac{f}{d} \cdot h=\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l\cdot \left(F+l\right)} \cdot h=\frac{F\cdot h}{l}.} \end{array} \]
Ответ: 4)  4 см.

[Виктор]

В1.1. Ось X прямоугольной системы координат (x; y) совпадает с главной оптической осью линзы. Если источнику света, расположенному в точке с координатами (10 м; 5,0 м), соответствует изображение с координатами (40 м; –10 м), то оптическая сила линзы составляет … дптр.
Решение: данную задачу проще всего решить построением: для построения изображения используем основные лучи, тогда на рисунке будут хорошо видны все расстояния.
Как видно из рисунка: расстояние от источника до линзы d = 10 м, расстояние от линзы до изображения f = 20 м. Запишем формулу линзы (из построения видно, что линза собирающая, изображение действительное)
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{10} +\frac{1}{20} =\frac{3}{20}.  \]
Ответ: 0,15 дптр.

[Виктор]

В1.2. Ось X прямоугольной системы координат (x; y) совпадает с главной оптической осью линзы. Если источнику света, расположенному в точке с координатами (10 м; 5,0 м), соответствует изображение с координатами (50 м; –15 м), то x – координата оптического центра линзы составляет … м.
Решение: данную задачу проще всего решить построением: для построения изображения используем основные лучи, тогда на рисунке будут хорошо видны все расстояния и положение линзы.
Ответ: 20 м.

[Виктор]

В1.3. Если изображение предмета, помещённого перед линзой на расстоянии d = 50 см, мнимое и уменьшенное в k = 3 раза, то оптическая сила линзы будет равна… дптр.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, т.к. только у неё мнимое уменьшенное изображение) и увеличения (по условию Г = 1/k)
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d=\frac{d}{k} . \]
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} =\frac{1-k}{d}. \]
Ответ: – 4 дптр.

[Виктор]

В1.5. На пути сходящегося пучка поставили собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 10 см, в результате чего лучи сошлись на расстоянии l₂ = 5,0 см от линзы. Если линзу убрать, то расстояние от места, где она стояла, до точки схождения лучей в этом случае составит…см.
Решение: См решение задания №1, тест А2 этого параграфа.
\[ l_{1} =\frac{F\cdot l_{2}}{F-l_{2}}.  \]
Ответ: 10 см.

[Виктор]

В1.6. На тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 50 см падает сходящийся пучок лучей так, что их продолжения  пересекаются в заднем фокусе. При этом преломлённые лучи пересекутся на расстоянии от линзы. равном…см.
Решение: См решение задания №1, тест А2 этого параграфа.
l₁= F по условию, l₂ нужно определить.
\[ l_{2} =\frac{F\cdot l_{1}}{F+l_{1}}. \]
Ответ: 25 см.

[Виктор]

В1.8. На экране получено два чётких изображения одного предмета при двух разных положениях линзы между предметом и экраном. Если высота одного изображения H₁ = 2 см, а другого – H₂ = 8 см, то высота предмета составляет … см.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули (отодвинули) к (от) предмета для получения второго четкого изображения. Пусть d₂ и d₁ – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях, а расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f₁ и  f₂ соответственно, h – искомая высота предмета.
Вследствие принципа обратимости световых лучей

d₁ = f₂;   f₁ = d₂.

Тогда получаем систему уравнений на основании формулы увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{H_{1} }{h} =\frac{f_{1}}{d_{1}} ,} \\ {\frac{H_{2} }{h} =\frac{f_{2} }{d_{2} } } \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }\frac{H_{1} \cdot H_{2} }{h^{2}} =\frac{f_{1} \cdot f_{2}}{d_{1} \cdot d_{2}} =1. \]
Откуда
\[ h=\sqrt{H_{2} \cdot H_{1}}. \]
Ответ: 4 см.

[Виктор]

В1.9. Для  того чтобы весь фасад здания уместился на кадре плёнки размером H₁ х H₂ = 24 х 36 мм, здание длиной l = 50 м надо сфотографировать с минимального расстояния…м. Фокусное расстояние объектива F = 50 мм.
Решение: пусть  d – расстояние от предмета до объектива (искомое), f – расстояние от объектива до изображения. Минимальным расстояние будет в том случае, если мы уместим фасад на широкую сторону кадра, в этом случае H₂ = 36 мм – размер изображения. Тогда, используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \frac{H_{2}}{l} =\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; }f=\frac{H_{2} \cdot d}{l} , \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{l}{H_{2} \cdot d} =\frac{H_{2} +l}{H_{2} \cdot d} , \]
\[ d=\frac{F\cdot \left(H_{2} +l\right)}{H_{2}}. \]
Ответ: 69 м.

[Виктор]

В1.10. Диапозитив имеет размеры h₁ х h₂ = 8,0 х 8,0 см. Расстояние от объектива проектора до экрана f = 4,0 м. На экране наблюдают резкое изображение диапозитива. Размер изображения 2,0 х 2,0 м. Оптическая сила объектива проектора равна…дптр.
Решение: ввиду равенства сторон изображения и предмета, неважно какой из размеров брать. Пусть размер изображения h = 2 м.  Используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \frac{h}{h_{1} } =\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; }d=\frac{f\cdot h_{1}}{h} , \]
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{h}{f\cdot h_{1} } +\frac{1}{f} =\frac{h_{1} +h}{f\cdot h_{1}}. \]
Ответ: 6,5 дптр.

[Виктор]

В2.1. Если предмет расположен на расстоянии l₁= 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается изображение предмета, расположен на расстоянии l₂ = 40 см от заднего фокуса линзы, то фокусное расстояние линзы равно… см.
Решение: т.к. предмет расположен перед фокусом, то расстояние от него до линзы d = F+l₁, а т.к. изображение за фокусом, то расстояние от него до линзы f = F+l₂. Воспользуемся формулой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{F+l_{1} } +\frac{1}{F+l_{2} } =\frac{F+l_{2} +F+l_{1} }{\left(F+l_{1} \right)\cdot \left(F+l_{2} \right)}, \]
\[ \left(F+l_{1} \right)\cdot \left(F+l_{2} \right)=F\cdot \left(2\cdot F+l_{2} +l_{1} \right), \]
\[ F^{2} +F\cdot l_{2} +F\cdot l_{1} +l_{1} \cdot l_{2} =2\cdot F^{2} +F\cdot l_{2} +F\cdot l_{1}, \]
\[ F^{2} =l_{1} \cdot l_{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }F=\sqrt{l_{1} \cdot l_{2}}. \]
Ответ: 20 см.