30. Линзы. Оптические приборы

[Виктор]

В2.2. С помощью тонкой линзы получают двукратно увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на расстояние l =10 см и получают мнимое изображение такого же размера. Фокусное расстояние линзы составляет… см.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, т.е. в нашем случае линзу придвинули к предмету на расстояние l, увеличение в обоих случаях Г = 2.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{1} }{d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}\Gamma \cdot d_{1}, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} -l} -\frac{1}{f_{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{2} }{d_{1} -l} ,{\rm \; \; \; \; }f_{2} {\rm =}\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right). \]
Решим данную систему уравнений относительно фокусного расстояния
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{\Gamma \cdot d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }d_{1} =\frac{\left(\Gamma +1\right)\cdot F}{\Gamma }, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} -l} -\frac{1}{\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right)} =\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right)} , \]
\[ \Gamma \cdot \left(\frac{\left(\Gamma +1\right)\cdot F}{\Gamma } -l\right)=\left(\Gamma -1\right)\cdot F, \]
\[ \Gamma \cdot F+F-\Gamma \cdot l=\Gamma \cdot F-F, \]
\[ F=\frac{\Gamma \cdot l}{2}. \]
Ответ: 10 см.

[Виктор]

В2.3. Точечный источник света описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 7 см. Изображение источника наблюдается на экране, расположенном на расстоянии f = 0,35 м от линзы. Модули ускорений, с которыми движутся изображение и источник, различаются в …раз (раза).
Решение: точка находится на расстоянии от линзы, большем фокусного расстояния, её изображение будет действительным, обратным. Пусть радиус вращения точки равен r, а изображения R. (данные радиусы можно считать высотами предмета и изображения). Период вращения у них одинаковый (одинакова и угловая скорость вращения). Ускорение (центростремительное) находится как произведение радиуса вращения на угловую скорость, поэтому модули ускорений будут отличаться в линейное увеличение раз.
Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{R}{r} =\frac{f}{d}, \]
\[ d=\frac{F\cdot f}{f-F} ,{\rm \; \; \; }\frac{R}{r} =\frac{f-F}{F}. \]
Ответ: 4.

[Виктор]

В2.4. Расстояние l между двумя точечными источниками света, расположенными на главной оптической оси линзы, 24 см. Фокусное расстояние линзы F = 9,0 см. Если изображения обоих источников наблюдаются в одной точке, то расстояние от линзы до одного из источников составляет…см.
Решение: линза собирающая, поэтому если изображения наблюдаются в одной точке, то одно изображение действительное, а второе мнимое. При этом источники расположены по разные стороны от линзы (мнимое изображение образуется по одну сторону с предметом), поэтому d₁ + d₂ = l. Расстояние от линзы до изображений одинаковое: f₁ = f₂ = f. Запишем формулу линзы для двух источников с учётом правила знаков:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }d_{1} +d_{2} =l, \]
Решим полученную систему относительно расстояний до источников
\[ \frac{1}{f} =\frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{f} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }d_{2} =l-d_{1} , \]
\[ \frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } =\frac{1}{l-d_{1} } -\frac{1}{F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{2}{F} =\frac{1}{l-d_{1} } +\frac{1}{d_{1} } =\frac{l}{d_{1} \cdot \left(l-d_{1} \right)} , \]
\[ 2\cdot d_{1}^{2} -2l\cdot d_{1} +F\cdot l=0, \]
\[ d_{1} =\frac{l\pm \sqrt{l^{2} -2\cdot F\cdot l}}{2} \]
Ответ: d₁ = 18 см,  d₂ = 6 см. (примечание – с ответом не сходится, да и вопрос неоднозначен до какого из источников?)

[Виктор]

В2.5. Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии a = 30 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии l₁ = 10 см от линзы, наблюдается светлое пятно. Размеры пятна не изменяются, если экран расположить на расстоянии l₂ = 20 см от линзы. Фокусное расстояние линзы равно … см.
Решение: проведём построение, используя крайние лучи и побочную оптическую ось.
Как видно из рисунка (например, из соображений симметрии), расстояние от изображения до линзы равно
\[ f=l_{1} +\frac{l_{2} -l_{1} }{2} =\frac{l_{2} +l_{1}}{2}. \]
Запишем формулу линзы и определим фокусное расстояние
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{a} +\frac{2}{l_{2} +l_{1} } , \]
\[ F=\frac{a\cdot \left(l_{1} +l_{2} \right)}{2\cdot a+\left(l_{1} +l_{2} \right)} . \]
Ответ: 10 см.

[Виктор]

В2.6. Линза формирует действительное изображение, увеличенное в 3 раза. Если при неизменном расстоянии между предметом и линзой её оптическую силу D уменьшить вдвое, то увеличение Г составит … .
Решение: воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }3{\rm =}\frac{f_{1} }{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}3\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; }D=\frac{4}{3\cdot d} , \]
\[ \frac{D}{2} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{2} }{d} ,{\rm \; \; \; \; }f_{2} {\rm =}\Gamma \cdot d,{\rm \; \; \; \; }\frac{D}{2} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d}, \]
\[ \frac{4}{2\cdot 3\cdot d} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{2}{3} =1+\frac{1}{\Gamma } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =-3. \]
При расчётах увеличение получилось отрицательным, это означает только одно, во втором случае изображение мнимое, прямое, увеличенное в 3 раза. (в формуле линзы мы считали изображение действительным)
Ответ: 3.

[Виктор]

В2.7. Расстояние между предметом и экраном l = 3,0 м. Линза, помещённая между ними, даёт чёткое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми Δl = 1,0 м. Фокусное расстояние линзы равно …см.
Решение: по условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Пусть линзу, после того, как получили первое изображение, пододвинули к экрану для получения четкого второго изображения предмета. Тогда

Δl = d₂ – d₁,

где d₂ и d₁ – расстояние между предметом и линзой во втором и первом по-ложениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны f₁ и  f₂ соответственно, тогда

l = d₁ + f₁ = d₂ + f₂.

Вследствие принципа обратимости лучей (мы им можем пользоваться т.к. положение предмета и экрана не менялось)

f₂ = d₁;   f₁ = d₂.

Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =\Delta l,} \\ {d_{2} +d_{1} =l} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{l+\Delta l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{l-\Delta l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{l-\Delta l} +\frac{2}{l+\Delta l} =\frac{4\cdot l}{l^{2} -\Delta l^{2}}, \]
\[ F=\frac{l^{2} -\Delta l^{2} }{4\cdot l}. \]
Ответ: 66,66 ≈ 67 см.

[Виктор]

В2.8. Съёмка чертежа размером h₁x h₂ = 30 см x 40 см производится фотоаппаратом, фокусное расстояние объектива которого F₁ = 20 см. Расстояние от объектива до чертежа d = 1,6 м. Чтобы изображение чертежа точно уложилось на фотопластинку размером H₁ x H₂ = 9,0 см x 12 см, фокусное расстояние насадочной линзы должно быть … см.
Решение: как видно из условия, соотношение размеров чертежа и фотопластинки не изменяются (3 x 4), поэтому неважно, с каким будем рабо-тать. При использовании насадочной линзы, мы получаем  систему двух линз, плотно прилегающих друг к другу, оптическая сила системы равна
\[ D=D_{1} +D_{2} =\frac{1}{F_{1} } +\frac{1}{F_{2}}. \]
Воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{f}{d} =\frac{H_{1} }{h_{1}}, \]
\[ \frac{1}{F_{1} } +\frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d} +\frac{h_{1} }{d\cdot H_{1}} =\frac{H_{1} +h_{1} }{d\cdot H_{1}}, \]
\[ F_{2} =\frac{1}{\frac{H_{1} +h_{1} }{d\cdot H_{1}} -\frac{1}{F_{1}}}. \]
Ответ: – 43,63 ≈ – 44 см (для рассеивающих линз фокусное расстоя-ние считают отрицательным числом).

[Виктор]

В2.9. Расстояние наилучшего зрения человека d = 10 см. Оптическая сила очков, которые нужны человеку для исправления близорукости, составляет … дптр.
Решение: применим к глазу формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
где f – расстояние от оптического центра хрусталика глаза до сетчатки, D – оптическая сила глаза. Чтобы восполнить недостаток зрения, человеку нужны очки с линзой такой оптической силы D₀, чтобы лучи, падающие от точек, удалённых на расстоянии d₀ = 25 см (расстояние наилучшего зрения здорового глаза) фокусировались системой «очки – глаз» на сетчатке. Следовательно (учтём, что оптические силы системы линз суммируются)
\[ D+D_{0} =\frac{1}{d_{0} } +\frac{1}{f}. \]
Вычитая из второго уравнения первое, получим
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}. \]
Ответ: – 6 дптр.

[Виктор]

В2.10. Расстояние наилучшего зрения человека d = 50 см. Оптическая сила очков, которые нужны человеку для исправления дальнозоркости, составляет … дптр.
Решение: см. решение предыдущей задачи: часть В2 №9
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}.  \]
Ответ: 2 дптр.

[Виктор]

ОТ8.1. В воздухе  интерферируют когерентные световые волны с частотой ν = 5 ∙ 10¹⁴ Гц. Если разность хода двух световых волн, пришедших в некоторую точку, Δx = 2,4 мкм, то в этой точке будет наблюдаться:
1) ослабление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн;
2) ослабление света, так как разность хода равна нечётному числу полуволн;
3) усиление света, так как разность хода равна нечётному числу полуволн;
4) усиление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн;
5) при данных численных значениях интерференция наблюдаться не будет.
Решение: найдём длину волны излучения
\[ \lambda =\frac{c}{\nu } =\frac{3\cdot 10^{8}}{5\cdot 10^{14} } =6\cdot 10^{-7}. \]
Проверим условие максимума интерференции: разность хода равна чётному числу полуволн.
\[ \Delta x=2\cdot m\cdot \frac{\lambda }{2} ,{\rm \; \; \; \; \; }m=\frac{\Delta x}{\lambda } =4. \]
Ответ: 4) усиление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн.