30. Линзы. Оптические приборы

[Виктор]

ОТ8.2. На дифракционную решётку с периодом d = 1,0 мкм перпендикулярно к ней падает световая волна. Если угол между первыми симметричными главными максимумами α = 60°, то длина световой волны равна:
1) 0,20 мкм;     2) 0,40 мкм;    3) 0,50 мкм;    4) 0,60 мкм;     5) 0,70 мкм.
Решение: воспользуемся формулой дифракционной решётки
\[ d\cdot \sin \phi =m\cdot \lambda , \]
здесь φ = α/2 – угол, под которым виден максимум порядка m (по условию m = 1), λ – искомая длина волны.
\[ \lambda =\frac{d\cdot \sin \frac{\alpha }{2}}{m}. \]
Ответ: 3) 0,50 мкм.

[Виктор]

ОТ8.3. На дифракционную решётку, имеющую штрихи в количестве N = 200 на l = 1,00 мм, падает нормально свет с длиной волны λ = 500 нм. Расстояние от решётки до экрана L = 1,0 м. Расстояние от центрального до первого максимума равно:
1) 2,0 см;     2) 4,5 см;    3) 6,0 см;    4) 8,2 см;     5) 10 см.
Решение: сделаем схематичный рисунок. Расстояние до экрана достаточно большое, поэтому угол α, под которым виден первый максимум будет мал. Для малых углов (до 10°), синус угла равен тангенсу, т.е.
\[ \sin \alpha =tg\alpha =\frac{h}{L}. \]
Период решётки связан с числом штрихов следующим образом
\[ d=\frac{l}{N}. \]
Воспользуемся формулой дифракционной решётки (m = 1)
\[ \begin{array}{l} {d\cdot \sin \alpha =m\cdot \lambda ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{l}{N} \cdot \frac{h}{L} =m\cdot \lambda ,} \\ {h=\frac{N\cdot L\cdot m\cdot \lambda }{l}.} \end{array} \]
Ответ: 5) 10 см.

[Виктор]

ОТ8.4. Период дифракционной решётки d = 5,0 мкм. Общее число дифракционных максимумов для жёлтой линии Na с длиной волны λ = 5,89∙10^–7 м равно:   
1) 7;     2) 11;    3) 13;    4) 15;     5) 17.
Решение: воспользуемся формулой дифракционной    решётки:
              

   d∙sinφ = k∙λ,

В идеале дифракционная решётка может отклонить световой луч на угол φ = 90º (sin90º = 1). При этом будет наблюдаться максимум наибольшего порядка. При расчёте данного максимума нужно учесть, что это целое число, поэтому нужно будет взять целую часть от выражения для расчёта k_max:
\[ k_{\max } =\left[\frac{d}{\lambda } \right] \].   
квадратные скобки означают: «целая часть числа». 
Общее число максимумов равно удвоенному k_max (картина симметрична), плюс центральный максимум
\[ N=2\cdot k_{\max } +1. \]
Ответ: 5) 17.

[Виктор]

ОТ8.5. Высота Солнца над горизонтом φ = 50°. Чтобы отразившиеся от плоского зеркала солнечные лучи распространялись вертикально вверх, угол падения лучей на зеркало должен быть равен:
1) 54°;     2) 42°;    3) 36°;    4) 25°;     5) 20°.
Решение: пусть угол падения солнечных лучей на зеркало равен α, искомый угол – β. Как видно из рисунка

2α + φ = 90º,   α = (90º – φ)/2,

Искомый угол β равен
\[ \begin{array}{l} {90{}^\circ +\beta =90{}^\circ +\alpha ,} \\ {\beta =\alpha =\frac{90{}^\circ -\varphi }{2}.} \end{array} \]
Ответ: 5) 20°.

[Виктор]

ОТ8.6. При переходе луча света из первой среды во вторую угол падения α = 30°, а угол преломления β = 60°. Относительный показатель преломления первой среды относительно второй равен:
1) 0,5;        2) 1/√3;       3) 1;      4) √3;       5) 2.
Решение: угол преломления связан с углом падения законом преломления света. Запишем его
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n_{21} , \]
здесь n₂₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Перевернём выражение
\[ n_{12} =\frac{n_{1}}{n_{2}} =\frac{\sin \beta }{\sin \alpha } =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} =\sqrt{3} \]
Ответ: 4) √3

[Виктор]

ОТ8.7. Луч света распространяется в оптическом волокне в течение времени Δt = 2,0 мкс. Если предельный угол полного отражения для границы «волокно-воздух» α = 60°, то длина волокна равна:
1) 0,52 км;        2) 0,46 км;       3) 0,39 км;      4) 0,33 км;       5) 0,26 км.
Решение: при распространении света из оптически более плотной среды в менее плотную, наблюдается явление полного отражения. Предельный угол полного отражения равен
\[ \sin \alpha =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} =\frac{\upsilon }{c}, \]
здесь n₂ = 1 – показатель преломления воздуха, n₁ = с / υ – показатель преломления волокна, c = 3 ∙ 10⁸ м/с – скорость света в вакууме, υ – скорость света в  волокне. Определим эту скорость и пройденный путь
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =c\cdot \sin \alpha ,} \\ {l=\upsilon \cdot \Delta t=c\cdot \Delta t\cdot \sin \alpha .} \end{array} \]
Ответ: 1) 0,52 км.

[Виктор]

ОТ8.8. На плоскопараллельную стеклянную пластинку из воздуха падает световой луч. Угол падения луча  α = 30°. Толщина стеклянной пластинки, если показатель преломления стекла n = 1,5, а время распространения света в пластинке Δt = 0,025 нс, составляет:
1) 1,6 мм;        2) 3,2 мм;       3) 4,7 мм;      4) 6,2 мм;       5) 7,6 мм.
Решение: ход луча при прохождении стеклянной пластинки показан на рисунке. Показатель преломления стекла больше чем у воздуха, поэтому угол преломления β меньше угла падения α. Луч вышедший из пластинки, будет параллелен падающему.  Из прямоугольного треугольника ABC:
\[ d=AC\cdot \cos \beta . \]
Воспользуемся законом преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =n,{\rm \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n} . \]
Тогда из основного тригонометрического тождества
\[ \cos \beta =\sqrt{1-\sin ^{2} \beta } =\sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \alpha }{n^{2} } } =\frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{2} -\sin ^{2} \alpha } . \]
Гипотенуза АС равна оптическому пути
\[ n=\frac{c}{\upsilon } ,{\rm \; \; \; \; \; }\upsilon =\frac{c}{n} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }AC=\upsilon \cdot \Delta t=\frac{c}{n} \cdot \Delta t. \]
Таким образом, толщина пластинки
\[ d=\frac{c}{n^{2} } \cdot \Delta t\cdot \sqrt{n^{2} -\sin ^{2} \alpha }. \]
Ответ: 3) 4,7 мм.

[Виктор]

ОТ8.9. Предельный угол полного отражения для стекла α₀ = 45°. Модуль скорости света в стекле равен:
\[ 1){\rm \; }\frac{c}{2} ;{\rm \; \; \; \; 2)\; }\frac{c\sqrt{2} }{2} ;{\rm \; \; \; 3)\; }\frac{c\sqrt{3} }{2} ;{\rm \; \; \; \; 4)\; }\frac{3}{4} c;{\rm \; \; \; 5)\; }\frac{2c}{\sqrt{2}}.  \]
Решение: предельный угол полного отражения равен
\[ \sin \alpha =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} =\frac{\upsilon }{c} , \]
здесь n₂ = 1 – показатель преломления воздуха, n₁ = с / υ – показатель пре-ломления стекла, c = 3 ∙ 10⁸ м/с – скорость света в вакууме, υ – скорость света в  стекле. Определим эту скорость
\[ \upsilon =c\cdot \sin \alpha . \]
Ответ: 2).

[Виктор]

ОТ8.10. В дно озера вбита свая высотой H = 4,0 м, выступающая из воды на высоту h = 1,0 м. Лучи Солнца падают на поверхность воды под углом α = 45°. Показатель преломления воды n = 4/3. Длина тени сваи на дне озера равна:         1) 1,6 м;        2) 1,9 м;       3) 2,4 м;      4) 2,9 м;       5) 3,6 м.
Решение: на границе воздух-вода будет наблюдаться преломление световых лучей. Угол падения световых лучей равен γ = 90° – α = 45° = α. Угол преломления равен β. Из закона преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n,{\rm \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n},  \]
\[ \beta =\arcsin \left(\frac{\sin \alpha }{n} \right). \]
β = 32°.
Как видно из рисунка, длина тени l = l₁+l₂.
Воспользуемся определением тангенса для двух прямоугольных  треугольников, и найдём длину тени на дне
\[ l_{1} =h\cdot tg\alpha ,{\rm \; \; \; \; \; \; }l_{2} =\left(H-h\right)\cdot tg\beta ,  \]
\[ l=h\cdot tg\alpha +\left(H-h\right)\cdot tg\beta . \]
Ответ: 4) 2,9 м.

[Виктор]

ОТ8.11. Луч света падает на плоскопараллельную пластинку с коэффициентом преломления n = 1,5 под углом α = 60°. Если при выходе из пластинки луч смещается на расстояние d = 2,0 см, то толщина пластинки равна:
1) 12 мм;        2) 24 мм;       3) 32 мм;      4) 39 мм;       5) 65 мм.
Решение: ход луча при прохождении стеклянной пластинки показан на рисунке. Показатель преломления стекла больше чем у воздуха, поэтому угол преломления β меньше угла падения α. Луч вышедший из пластинки, будет параллелен падающему. Если бы пластинки не было, то луч распространялся бы вдоль прямой AD. Из прямоугольных треугольников ABC и ADC, имеющих общую гипотенузу AC определим толщину пластинки h.
\[ AC=\frac{h}{\cos \beta } =\frac{d}{\sin \left(\alpha -\beta \right)},  \]
\[ h=d\cdot \frac{\cos \beta }{\sin \left(\alpha -\beta \right)}. \]
Воспользуемся законом преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n,{\rm \; \; \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n},  \]
\[ \beta =\arcsin \left(\frac{\sin \alpha }{n} \right)=35,26{}^\circ . \]
Таким образом, искомая толщина пластинки
\[ h=2,0\cdot \frac{\cos 35,26{}^\circ }{\sin \left(60{}^\circ -35,26{}^\circ \right)} =3,9. \]
Ответ: 4) 39 мм.