30. Линзы. Оптические приборы

[Виктор]

ОТ8.12. На дне озера лежит камень. Истинная глубина h реки, если человеку, смотрящему перпендикулярно её поверхности, она кажется равной 3 м, составляет (показатель преломления воды n = 4/3):
1) 2 м;        2) 4 м;       3) 5 м;      4) 6 м;       5) 7 м.
Решение: нарисуем ход лучей идущих от камня на дне (см. рис.). Т.к. свет распространяется из оптически более плотной среды, то угол преломления β больше угла падения α. Если смотреть сверху, то камень расположенный в т. О нам будет казаться выше – в т. А. Т.е. если h – истинная толщина пластинки, то H – кажущаяся. Углы будем считать малыми (размеры глаза малы), а для малых углов значения синуса и тангенса совпадают.  Запишем закон преломления света
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{tg\alpha }{tg\beta } =\frac{1}{n}.  \]
Тангенсы углов определим из прямоугольных треугольников:
треугольник ОВС: tgα  = BC / ОB = BC / h;
треугольник АВС: tgβ  = BC / AB = BC / H.
Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {\frac{tg\alpha }{tg\beta } =\frac{BC}{h} \cdot \frac{H}{BC} =\frac{1}{n},} \\ {h=n\cdot H.} \end{array} \]
Ответ: 2) 4 м.

[Виктор]

ОТ8.13. Если изображение предмета, помещённого на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 30 см от неё, то увеличение линзы равно:
1) 20;        2) 4,5;       3) 2,0;      4) 0,45;       5) 0,20.
Решение: линейное увеличение линзы рассчитывается по формуле
\[ \Gamma =\frac{H}{h} =\frac{f}{d}. \]
Ответ: 3) 2,0.

[Виктор]

ОТ8.14. Чтобы изображение предмета было мнимым и увеличенным в n = 4 раза, его надо расположить на расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см, равном:
1) 80 см;     2) 15 см;    3) 10 см;    4) 5,0 см;     
5) для собирающей линзы изображение не может быть мнимым.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, по условию увеличение Г = n = 4.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =n,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}n\cdot d,  \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{n\cdot d} =\frac{1}{d} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right),  \]
\[ d=F\cdot \left(1-\frac{1}{n} \right). \]
Ответ: 2) 15 см.

[Виктор]

ОТ8.15. С помощью линзы получают двукратно увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу перемещают на расстояние a = 10 см и получают мнимое изображение такого же размера. Фокусное расстояние линзы равно:
1) 2,0 см;     2) 5,0 см;    3) 7,0 см;    4) 10 см;     5) 13 см.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, т.е. линзу пододвинули к предмету
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{f_{1}} ,{\rm \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}\Gamma \cdot d_{1} ,{\rm \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{\Gamma \cdot d_{1}} =\frac{1}{d_{1}} \cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right), \]
\[ d_{1} =F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right); \]
\[ d_{1} -a=F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right), \]
\[ F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right)-a=F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right),{\rm \; \; \; \; }\frac{F}{\Gamma } -a=-\frac{F}{\Gamma } ,{\rm \; \; \; \; \; }F=\frac{\Gamma \cdot a}{2}. \]
 Ответ: 4) 10 см.

[Виктор]

ОТ8.16. Известно, что изображение предмета, помещённого перед линзой на расстоянии d = 0,5 м, мнимое и уменьшенное в k = 3 раза. Оптическая сила линзы равна:    1) – 4 дптр;     2) – 2 дптр;    3) 2 дптр;    4) 4 дптр;     5)  8 дптр.
Решение: мнимое уменьшенное изображение даёт только собирающая линза, поэтому оптическая сила её будет отрицательной. Из формулы линзы:
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d=\frac{d}{k} ,{\rm \; \; \; \; }D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} =\frac{1-k}{d}. \]
Ответ: 1) – 4 дптр.

[Виктор]

ОТ8.17. Роговая оболочка глаза имеет оптическую силу D₁ ≈ 40 дптр, а хрусталик D₂ ≈ 20 дптр. Фокусное расстояние глаза равно:
1) 1,1 см;     2) 1,2 см;    3) 1,4 см;    4) 1,5 см;     5) 1,7 см.
Решение: оптическая сила системы линз, сложенных вплотную  -суммируется, таким образом
\[ D=\frac{1}{F} =D_{1} +D_{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }F=\frac{1}{D_{1} +D_{2}}. \]
Ответ: 5) 1,7 см.

[Виктор]

ОТ8.18. Лупа позволяет получить пятикратное увеличение. Оптическая сила этой лупы равна:
1) 5 дптр;     2) 10 дптр;    3) 20 дптр;    4) 25 дптр;     5)  –10 дптр.
Решение: увеличение лупы рассчитывается по формуле
\[ \Gamma =\frac{d_{0} }{F} =D\cdot d_{0} ,{\rm \; \; \; \; }D=\frac{\Gamma }{d_{0}}.  \]
Здесь d₀ = 0,25 м – расстояние наилучшего зрения здорового глаза.
Ответ: 3) 20 дптр.

[Виктор]

ОТ8.19. Расстояние, с которого надо фотографировать здание длиной l = 50 м, чтобы весь фасад здания уместился на кадре плёнки размером H₁ x H₂ = 24 мм x 36 мм при фокусном расстоянии объектива F = 50 мм, составляет:
1) 36 м;        2) 42 м;       3) 54 м;      4) 69 м;       5) 86 м.
Решение: фотоаппарат нужно расположить так, что бы фасад уместился на широкую сторону кадра, т.е. размер изображения H₂ = 36 мм. Воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{f}{d} =\frac{H_{1}}{l}, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{l}{d\cdot H_{1}} =\frac{H_{1} +l}{d\cdot H_{1}}, \]
\[ d=\frac{F\cdot \left(H_{1} +l\right)}{H_{1}}. \]
Ответ: 4) 69 м.

[Виктор]

ОТ8.20. Расстояние наилучшего зрения для дальнозоркого человека d = 50 см. Для исправления дальнозоркости человеку необходимо приобрести очки с оптической силой:
1) 1,5;        2) 2,0;       3) 2,5;      4) 3,0;       5) 3,5.
Решение: см. решение задачи: §30,часть В2, №9, 10.
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}.  \]
Ответ: 2) 2,0.