8. Закон сохранения энергии

[alsak]

Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

8. Закон сохранения энергии

Тест А1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест А2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

[Евгений Пархоменко]

                                                                                        § 8 Тест   A1
2. Пружина детского пистолета жесткостью k  = 10 Н/см имеет длину l₀  = 15 cм. Шарик массой m = 10 г. Выпущенный из пистолета вертикально вверх, если его пружина сжата на l = 50 мм, взлетит на высоту:

1) 10 м;    2) 25 м;    3) 50 м;    4) 100 м;    5) 200 м.

Запишем формулу для потенциальной энергии и потенциальной энергии упруго деформированного тела:
\[\begin{align}
  & {{E}_{p}}=m\cdot g\cdot h\,\,(1), \\
 & {{E}_{p}}=\frac{k\cdot \Delta {{l}^{2}}}{2}\,\,(2). \\
\end{align}\]
Из формулы (1) выразим h:
\[\begin{align}
h=\frac{{{E}_{p}}}{m\cdot g}\,\,(3).
\end{align}\]
В (3) подставим (2) и произведем расчеты.
Ответ: h = 50 м.

[Евгений Пархоменко]

№3
Потенциальная энергия тела массой m  = 200 г, брошено вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ0  = 30 м/с   через время t = 2,0 с после бросания равна:
     1)12 Дж;    2) 22 Дж;   3) 68 Дж;    4) 80 Дж;    5) 90 Дж.
Запишем формулу  для потенциальной энергии и формулу для определения высоты:
\[\begin{align}
  & {{E}_{p}}=m\cdot g\cdot h\,\,(1), \\
 & h={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(2). \\
\end{align}\]
Так как тело брошено вверх, скорость убывает по закону:
\begin{align}
  & \upsilon \,\,={{\upsilon }_{0}}-gt\,\,\,(3). \\
 & {{E}_{p}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot g\cdot t-\frac{m\cdot {{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(4). \\
\end{align}
Произведем расчеты по формуле (4).   
Ответ :  Ep  = 80 Дж.

[Евгений Пархоменко]

 №4
Тело массой m = 1,0 кг брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой  υ = 20 м/с, и через время t = 6,0 c упало на землю. Кинетическая энергия тела в момент удара тела о землю будет равна:
1)1,0 кДж;    2) 1,4 кДж;   3) 2,0 кДж;    4)  2,8 кДж;    5) 4,0 кДж.
\begin{align}
  & {{E}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\,\,(1). \\
 & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}\,\,(2). \\
\end{align}
\begin{align}
\upsilon {}_{x}={{\upsilon }_{0}}\,\,(3),\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0y}}+g\cdot t\,\,(4),\,\,{{\upsilon }_{0y}}=0\,\,(5),\,\,{{\upsilon }_{y}}=g\cdot t\,\,(6).
\end{align}
Из (2) получим:
\begin{align}
\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}}\,\,(7).
\end{align}
Подставим (6) в (1):
\[{{E}_{k}}=\frac{m}{2}\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}} \right)\,\, (8 )\]
Произведем расчеты по формуле (8 ) .
Ответ: Ek  = 2 кДж.

[Евгений Пархоменко]

№5
Кинетическая энергия системы в начальном состоянии равна нулю. Если при переводе механической системы в конечное состояние, внешними силами совершена работа А = 11 Дж, а потенциальная энергия уменьшилась на ΔW = 3,0 Дж, то ее кинетическая энергия в конечном состоянии составляет:
1)3,0 Дж;   2)8 Дж;   3) 11 Дж;   4) 14 Дж;   5) 33 Дж.
Начальное состояние:
\begin{align}
  & {{E}_{k1}}=0\,\,(1), \\
 & {{E}_{p1}}=x\,\,(2). \\
\end{align}
Конечное состояние:                                                 
\begin{align}
  & {{E}_{k2}}=y\,\,(3), \\
 & ~{{E}_{p2}}=x-3\,\,(4). \\
\end{align}
\begin{align}
  & {{E}_{k1}}+{{E}_{p1}}+A={{E}_{k2}}+{{E}_{p2}}. \\
 & x+11=x-3+y. \\
 & y=14. \\
\end{align}
Ответ: 14 Дж.

[Евгений Пархоменко]

№6
На некоторой высоте модуль скорости планера υ1  = 10 м/с. При снижении планера на высоту Δh = 40 м, модуль скорости составит:
1)90 м/с;   2) 25м/с;   3) 30м/с;   4) 45 м/с;   5) 60 м/с.
Запишем закон сохранения энергии:
\[\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot {{h}_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot {{h}_{2}}\,\,(1).\]
Из (1) получим:
\[\begin{align}
{{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+2\cdot g\cdot \Delta h}\,\,(2).
\end{align}\]
Произведем расчеты по формуле (2).
Ответ: υ2 = 30 м/с.

Ответ: υ2 = 30 м/с.

[Евгений Пархоменко]

№ 8
На тело массой m = 1,0 кг, в течении времени t = 2,0 c действует сила, модуль которой равен F = 1 Н. Если начальная кинетическая энергия тела  равна нулю, то конечная кинетическая энергия составит:
1)1,0 Дж;   2) 1,4 Дж;    3) 2,0 Дж;   4) 4,0 Дж;   5) 8 Дж.
\begin{align}
  & F=m\cdot a\,\,(1). \\
 & a=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{\Delta t}\,\,(2). \\
\end{align}
Подставим (1) в (2):
\begin{align}
m\cdot \upsilon -m\cdot {{\upsilon }_{0}}=F\cdot \Delta t\,\,(3).
\end{align}
Из (3) выразим υ:
\[\upsilon \,\,=\frac{F\cdot \Delta t}{m}\,\,(4).\]
Запишем формулу для определения кинетической энергии:
\begin{align}
{{E}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\,\,(5).
\end{align}
Произведем расчеты по формуле (5) с учетом формулы (4).
Ответ: Ek  = 2 Дж.

[Сергей]

Тест А 1. 7. Тело массой m = 1,0 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ₀ = 20 м/с, достигло верхней точки траектории за время t = 1,9 с. Работа силы тяжести при этом составит:
1) 95 Дж; 2) -95 Дж; 3) -0,19 кДж; 4) 0,19 Дж; 5) -0,20 кДж.
Решение.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии взятой с противоположным знаком.

\[ \begin{align}
  & A=-(m\cdot g\cdot {{h}_{2}}-m\cdot g\cdot {{h}_{1}}),\ {{h}_{1}}=0,\ {{h}_{2}}=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,\ \upsilon =0, \\
 & A=-m\cdot g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t.\ A=-1,0\cdot 10\cdot \frac{20}{2}\cdot 1,9=-190. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) -0,19 кДж.

[Сергей]

Тест А 1. 10.  Два одинаковых шарика движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ₁ = 5,0 м/с и  υ₂ = 7,0 м/с соответственно.
После абсолютно упругого лобового удара изменение модуля скорости первого шарика составит:
1) 0; 2) 2,0 м/с; 3) 4,0 м/с; 4) 5,0 м/с; 5) 10 м/с.
Определим скорость первого шарика. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара и закон сохранения энергии.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}={{m}_{2}}\cdot {{{\vec{u}}}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{1}}.\ Ox:\ {{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=-{{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}, \\
 & {{m}_{1}}={{m}_{2}},\ {{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}}\ \ \ (1), \\
 & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}}{2},\ \upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Решим систему уравнений (1) и (2).

\[ \begin{align}
  & \ {{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}},\ \ \ 2=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}}, \\
 & \ \upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2};\ \ \ \ 74=u_{1}^{2}+u_{2}^{2};\  \\
\end{align} \]

u₁ = 7,0 м/с.
∆υ = 2,0 м/с.
Ответ: 2) 2,0 м/с.

[Сергей]

Тест А 2. 1. Пружину жесткостью k = 200 Н/м, предварительно сжатую на ∆l₁ = 1 см, сжимают еще на ∆l₂ = 1 см. Работа, совершенная при дополнительном сжатии равна:
1) 0,01 Дж; 2) 0,02 Дж; 3) 0,03 Дж; 4) 0,04 Дж; 5) 0,05 Дж.
Работу силы упругости по сжиманию пружины определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & A=-(\frac{k\cdot l_{2}^{2}}{2}-\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2}}{2}),\ {{l}_{2}}=\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}},\ A=-(\frac{k\cdot {{(\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}})}^{2}}}{2}-\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2}}{2}). \\
 & A=-(\frac{200\cdot {{(1,0\cdot {{10}^{-2}}+1,0\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2}-\frac{200\cdot {{(1,0\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2})=-3,0\cdot {{10}^{-2}}. \\
\end{align} \]

Работа внешней силы по дополнительному сжатии пружины равна:
А_вн = -А_упр.
А_вн = 0,03 Дж.
Ответ: 3) 0,03 Дж.