Итоговые тесты 3-4

[Сергей]

Вариант 3. В2. Человек, стоящий на гладком льду, толкает камень в горизонтальном направлении с высоты Н = 1,5 м. Камень падает на лед на расстоянии s =  8,2 м от места бросания. Если масса человека М = 50 кг, масса камня m = 2,8 кг, то работа, совершаемая человеком при толкании камня, равна …. кДж.
Решение. Работа, которую совершает человек при толкании камня, равна суме кинетических энергий человека и камня сразу после броска:

\[ A={{E}_{K1}}+{{E}_{K2}},\ A=\frac{M\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}\ \ \ (1). \]

υ₂ – скорость камня сразу после броска.
Для нахождения υ₂ рассмотрим движение тела брошенного горизонтально:

\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g}},\ s={{\upsilon }_{2}}\cdot t,\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{s\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2\cdot H}}\ \ \ (2), \]

t – время полета тела.
Для нахождения υ₁ применим закон сохранения импульса (рис):

\[ 0=M\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{2}}}{M},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{m\cdot s\cdot \sqrt{g}}{M\cdot \sqrt{2\cdot H}}\ \ \ (3). \]

Подставим (2) и (3) в (1) найдем работу:

\[ A=\frac{{{m}^{2}}\cdot {{s}^{2}}\cdot g}{4\cdot M\cdot H}+\frac{m\cdot {{s}^{2}}\cdot g}{4\cdot H}=\frac{m\cdot {{s}^{2}}\cdot g}{4\cdot H}\cdot (\frac{m+M}{M}), \]

А = 331,3 Дж. Ответ: 0,33 кДж.

[Сергей]

Вариант 3. В3. Идеальный газ в количестве ν = 5,0 моль нагревают на ∆t = 10 ⁰С таким образом, что его абсолютная температура изменяется пропорционально квадрату объема газа. Работа, совершаемая газом, равна ... кДж.
Решение. По условию задачи абсолютная температура изменяется пропорционально квадрату объема газа.

Т = α∙V².

Запишем уравнение состояния идеального газа:

p∙V = ν∙R∙T, p₁∙V₁ = ν∙R∙α∙V₁ ²,  p₂∙V₂ = ν∙R∙α∙V₂ ²,

R – универсальная газовая постоянная – R = 8,31 Дж/моль∙К.

p₁ = ν∙R∙ α∙V₁,  p₂ = ν∙R∙ α∙V₂,

можно заметить, что давление прямо пропорционально объему, построим график (рис).
Для нахождения работы совершенной газом найдем площадь трапеции АВV₂ V₁,

\[  A=\frac{({{p}_{1}}+{{p}_{2}})}{2}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})=\frac{(\nu \cdot R\cdot \alpha \cdot {{V}_{1}}+\nu \cdot R\cdot \alpha \cdot {{V}_{2}})}{2}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}}), \]

\[ A=\frac{\nu \cdot R\cdot \alpha }{2}\cdot (V_{2}^{2}-V_{1}^{2})=\frac{\nu \cdot R}{2}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})=\frac{\nu \cdot R}{2}\cdot \Delta T, \]

А = 207,75 Дж. Ответ: 0,21 кДж.

[Сергей]

Вариант 3. В4. Два шарика массами m₁ = m₂ = 1,5 г каждый, подвешенные в вакууме в одной точке на шелковых нитях, после сообщения одинаковых по модулю отрицательных зарядов q₁ = q₂ разошлись на расстояние r = 10 см и нити  образовали угол  α = 60°. Число электронов, полученных каждым шариком, равно ... (полученное значение умножьте на 10¹⁰).
Решение. Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}=0. \]

Найдем проекции на оси Х и Y:

\[ {{F}_{n}}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}-{{F}_{K}}=0\ \ \ (1), \]

\[ {{F}_{n}}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}-m\cdot g=0\ \ \ (2), \]

 

\[ {{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (3). \]

Выразим из (2) F_n, (3) и (2) подставим в (1):

\[ {{F}_{n}}=\frac{m\cdot g}{\cos \frac{\alpha }{2}},\ m\cdot g\cdot tg\frac{\alpha }{2}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (4). \]

\[ N=\frac{q}{\left| e \right|}\ \ \ (5), \]

N – количество электронов, е – заряд электрона, е = -1,6∙10^-19 Кл, k = 9∙10⁹ Н∙м² / Кл². Выразим из (4) заряд и подставим в (5):

\[ q=\sqrt{\frac{{{r}^{2}}\cdot m\cdot g\cdot tg\frac{\alpha }{2}}{k}},\ N=\frac{r}{\left| e \right|}\cdot \sqrt{\frac{m\cdot g\cdot tg\frac{\alpha }{2}}{k}}, \]

N = 61,3∙10^-10. Ответ: 61.

[Сергей]

Вариант 3. В5. Емкости конденсаторов в электрической схеме С₁ =2,6 мкФ,  С₂ = 5,4 мкФ, сопротивления резисторов R₁ = 60 Ом, R₂ = 90 Ом, ЭДС аккумулятора, включенного в цепь, E = 24 В, внутреннее сопротивление r =10 Ом (рис).  Напряжение U₁ на конденсаторе С₁ равно ... В.
Решение. При последовательном соединении конденсаторов:
1) напряжение на полюсах батареи равно:

U = U₁ + U₂;

2) заряд батареи конденсаторов равен:

q = q₁ = q₂;

3) электроемкость батареи конденсаторов равна:

\[ \frac{1}{C}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}},\ C=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{C}_{2}}}{{{C}_{2}}+{{C}_{1}}}. \]

Напряжение на батарее конденсаторов равно напряжению на резисторе R₂.
По закону Ома для полной цепи найдем силу тока:

\[ I=\frac{\xi }{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+r}, \]

I = 0,15 А. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R₂ :

U_R2 = I∙R₂, U_R2 = 13,5 В.

Найдем электроемкость батареи конденсаторов:
С = 1,755∙10^-6 Ф.
Найдем заряд батареи конденсаторов:

q = U_R2∙С, q = 23,7∙10^-6 Кл.

Найдем напряжение на первом конденсаторе:

U₁ = q/С₁, U₁ =  9,1 В.

Ответ: 9,1 В.

[Сергей]

Вариант 3. В6. На рисунке  приведен график зависимости силы тока I в замкнутой катушке от времени t. Индуктивность катушки L = 460 мГн. Максимальная ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке, равна ... В.
Решение. Для нахождения максимальной ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке, воспользуемся формулой:

\[ E=L\cdot \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|. \]

Найдем ЭДС на каждом участке графика.
Первый участок графика: t₁ = 0, t₂ = 0,1 с, ∆t = 0,1 с, I₁ = 0, I₂ = 3,0 А, ∆I = 3,0 А, Е₁ = 460∙10^-3∙3,0/0,1 = 12,9 В.
Второй участок графика: t₂ = 0,1 с, t₃ = 0,2 с, ∆t = 0,1 с, I₂ = 3,0 А, I₃ = 4,0 А, ∆I = 1,0 А, Е₂ = 460∙10^-3∙1,0/0,1 = 4,6 В.
Третий участок графика: t[sub]3[/sub] = 0,2 с, t₄ = 0,3 с, ∆t = 0,1 с, I₃ = 4,0 А, I₄ = 0, ∆I = - 4,0 А, Е₃ = 460∙10^-3∙4,0/0,1 = 18,4 В.
Максимальная ЭДС самоиндукции, возникает на третьем участке графика и она равна 18,4 В Ответ: 18,4 В.

[Сергей]

Вариант 3. В7. Конический маятник имеет длину l = 0,89 м. Шарик маятника вращается по окружности, радиус которой R = 0,50 м. Период колебаний такого маятника равен .... с.
Решение. Покажем силы, которые действуют на тело и ускорение:

\[ {{\vec{F}}_{n}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на оси X и Y:

\[ oX:\ {{F}_{n}}\cdot \sin \alpha =m\cdot a\ \ \ (1);\ oY:\ {{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2). \]

Учитываем что ускорение равно:

\[ a=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}{{{T}^{2}}}\ \ \ (3). \]

Выразим из (2) F_n и подставим (2) и (3) в (1):

\[ {{F}_{n}}=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha },\ m\cdot g\cdot tg\alpha =\frac{m\cdot 4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}{{{T}^{2}}}, \]

\[ tg\alpha =\frac{R}{\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}},\ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}}{g}}, \]

Т = 1,7 с. Ответ: 1,7 с.

[Сергей]

Вариант 3. В9.  С помощью линзы получают двукратно увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на расстояние а =  20 см и получают мнимое изображение такого же размера. Фокусное расстояние F линзы равно ... см.
Решение. В первом случае предмет находится за первым фокусом, d > F,  d - расстояние от линзы до предмета, F – фокусное  расстояние линзы. Увеличение линзы:
Г = 2 = f₁/d, f₁ = 2∙d,  f₁ – расстояние от линзы до изображения.
Запишем формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{{{f}_{1}}},\ \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{2\cdot d},\ \frac{1}{F}=\frac{3}{2\cdot d}\ \ \ (1). \]

Во втором случае предмет находится перед первым фокусом, F > d.  Увеличение линзы:
Г = 2 = f₂/(d – 0,2), f₂ = 2∙(d – 0,2).
Запишем формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F}=\frac{1}{d-0,2}-\frac{1}{{{f}_{2}}},\ \frac{1}{F}=\frac{1}{d-0,2}-\frac{1}{2\cdot (d-0,2)},\ \frac{1}{F}=\frac{1}{2\cdot (d-0,2)}\ \ \ (2). \]

Из (1) выразим d и подставим его в (2),
F = 0,2 м. Ответ: 20 см.

[Сергей]

Вариант 3. В10. На дифракционную решетку, имеющую штрихи в количестве N = 200 на l = 1,0 мм, падает нормально свет с длиной волны λ = 500 нм. Расстояние от решетки до экрана  L = 1,0 м. Расстояние от центрального до первого максимума равно ... см.
Решение. Максимум дифракционной решетки находится по формуле:

d∙sinφ = k∙λ;

при малых углах можно считать, что:

sinφ = tgφ = а/L,

а – расстояние от центрального до первого максимума,
d – период дифракционной решетки, d = l/N = 5∙10^-6 м.

d∙a/L = k∙λ, а = k∙λ∙L/d,

Так как максимум первый, k = 1,
а = 0,1 м. Ответ: 10 см.

[Сергей]

Вариант 3. В11. Вольтамперная характеристика фотоэлемента приведена на рисунке. Свет с длиной волны λ = 400 нм падает на фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Если мощность падающего светового потока P = 1,0 Вт, то отношение  N/n числа фотонов, падающих на катод, числу фотоэлектронов, вырываемых с поверхности катода за один и тот же  промежуток времени, равно....
Решение. Определим число фотонов падающих на катод  N:

\[  P=\frac{N\cdot {{E}_{1}}}{t},\ {{E}_{1}}=h\cdot \frac{c}{\lambda },\ P=\frac{N\cdot h\cdot c}{t\cdot \lambda },\ N=\frac{P\cdot t\cdot \lambda }{h\cdot c}\ \ \ (1). \]

где: h = 6,62∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка, с = 3∙10⁸ м/с – скорость света, t – промежуток времени.
Определим число фотоэлектронов, вырываемых с поверхности катода n:   

\[  {{I}_{n}}=\frac{q}{t},\ {{I}_{n}}=\frac{n\cdot \left| e \right|}{t},\ n=\frac{{{I}_{n}}\cdot t}{\left| e \right|}\ \ \ (2).  \]

где: е – модуль заряда электрона, I_n = 4,8∙10^-3 А – ток насыщения (график), найдем отношение N/n:

\[ \frac{N}{n}=\frac{P\cdot \lambda \cdot \left| e \right|}{h\cdot c\cdot {{I}_{n}}}, \]

N/n = 67. Ответ: 67.

[Сергей]

Вариант 3. В12. В результате соударения дейтрона ( ₁²н) с ядром бериллия ( ₄⁹Ве) образовались новое ядро и нейтрон. Энергетический эффект ядерной реакции  равен ... МэВ.
Решение. Запишем ядерную реакцию:

\[ _{1}^{2}H+_{4}^{9}Be\to _{Z}^{A}X+_{0}^{1}n. \]

В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения электрического заряда (нижний индекс) и числа нуклонов (верхний индекс): 2 + 9 = 10 + 1 → А = 10,  1 + 4 = 5 +  0 → Z= 5.
₅¹⁰Х = ₅¹⁰Ве .

\[ _{1}^{2}H+_{4}^{9}Be\to _{5}^{10}Be+_{0}^{1}n \]

Найдем энергетический выход реакции:

Е = Е₁ – Е₂,

из приложения запишем энергии покоя элементов которые входят в реакцию:

Е₁ = Е(₁²Н) + Е(₄⁹Ве) = 1875,6 МэВ + 8392,8 МэВ = 10268,4 МэВ.

Е ₂ = Е(₅¹⁰В) + Е(₀¹n) = 9324,4 МэВ + 939,6 МэВ = 10264,4 МэВ.

Е = 10268,4 МэВ - 10264,4 МэВ = 4,4 МэВ.

Ответ: 4,4 МэВ.