Итоговые тесты 3-4

[Сергей]

Вариант 4. А1. Пассажир поезда, движущегося со скоростью, модуль которой υ₁ = 20 м/с, видит в окне встречный поезд длиной l = 150 м в течение промежутка времени t = 5,0 с, если модуль скорости встречного поезда равен:
1) 5,0 м/с; 2) 7,5 м/с; 3)10 м/с; 4)15 м/с; 5) 20 м/с.
Решение. Пусть υ₁ — скорость пассажирского поезда относительно неподвижной системы отсчета, υ₂ — скорость встречного поезда относительно неподвижной системы отсчета, υ₁₂ — скорость пассажирского поезда относительно встречного поезда. Запишем формулу сложения скоростей:

\[  {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{\vec{\upsilon }}_{12}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}}.   \]

Найдем проекции на ось Х:

\[ {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{12}}-{{\upsilon }_{2}}\ \ \ (1), \]

υ₁₂ = l/t, υ₁₂ = 30 м/с.
Выразим из (1) υ₂:

υ₂ = υ₁₂ - υ₁,

υ₂ = 10 м/с. Ответ: 3) 10 м/с.

[Сергей]

Вариант 4. А2. Две материальные точки движутся вдоль одной прямой по законам х₁(t) = -1,0 + 2,0∙t + 1,0∙t² (м) и х₂(t) = 6,0 - 8,0∙t + 1,0∙t²(м). Модуль относительной скорости тел в момент встречи равен:
1) 1,6 м/с; 2) 3,2 м/с; 3) 7,4 м/с; 4)10 м/с; 5)12 м/с.
Решение. Найдем время встречи тел, приравняем х₁ и х₂:
-1,0 + 2,0∙t + 1,0∙t² = 6,0 - 8,0∙t + 1,0∙t²,
Решив уравнение получим t = 0,7 с.
Запишем уравнение скорости для первого и второго тела:

\[ \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+a\cdot t, \]

υ₀₁ = 2,0 м/с, а₁ = 2,0 м/с², υ₀₂ = -8,0 м/с, а₂ = 2,0 м/с²,

υ₁ = 2,0 + 2,0∙t, υ₂ = -8,0 + 2,0∙t.

Найдем скорости первого и второго тела для времени t = 0,7 с,
υ₁ = 3,4 м/с, υ₂ = - 6,6 м/с.
Тела движутся в противоположных направлениях, запишем формулу сложения скоростей:

\[ {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{\vec{\upsilon }}_{12}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}}. \]

Найдем проекции на ось Х (рис):

\[  {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{12}}-{{\upsilon }_{2}} , \]

выразим υ₁₂:

υ₁₂ = υ₁  + |υ₂|,

υ₁₂ = 10,0 м/с.
Ответ: 4) 10,0 м/с.

[Сергей]

Вариант 4. А4. Если два тела массами m₁ и m₂ двигались навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ₁ = 4,0 м/с и υ₂ = 20 м/с, и в результате абсолютно упругого удара обменялись скоростями (первое тело начало двигаться в противоположном направлении со скоростью, модуль которой 20 м/с, а второе — 4,0 м/с), то отношение масс этих тел   m₁/ m₂ равно:
1) 0,20; 2) 0,25; 3) 1,0; 4) 4,0; 5) 5,0.
Решение. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара:

\[  {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}},  \]

Найдем проекции на ось Х и разделим правую и левую часть уравнения на m₂:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}}, \]

\[ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{1}}-\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cdot {{\upsilon }_{2}}, \]

\[ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}},\ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=1. \]

Ответ: 3) 1,0. 

[Сергей]

Вариант 4. А5. Чтобы шар, подвешенный на нити к потолку вагона, движущегося по закруглению радиусом R = 50 м, отклонился от вертикали на угол α = 45°, вагон должен двигаться со скоростью, модуль которой равен:
1) 11 м/с; 2) 16 м/с; 3) 22 м/с; 4) 26 м/с; 5) 28 м/с.
Решение. Покажем силы, которые действуют на шар и ускорение:

\[ {{\vec{F}}_{n}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на оси X и Y:

\[ oX:\ {{F}_{n}}\cdot \sin \alpha =m\cdot a\ \ \ (1);\ oY:\ {{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2). \]

Учитываем что ускорение равно:

\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (3). \]

Выразим из (2) F_n и подставим (2) и (3) в (1):

\[ {{F}_{n}}=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha },\ m\cdot g\cdot tg\alpha =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{R}, \]

\[ tg\alpha =1,\ \ \upsilon =\sqrt{g\cdot R}, \]

υ =  22,3 м/с. Ответ: 3) 22 м/ с.

[Сергей]

Вариант 4. А6. Брусок массой m = 1,0 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость μ = 0,20. Модуль минимальной горизонтальной силы, с которой нужно действовать на брусок, чтобы он покоился, равен:
1) 10 Н; 2) 8,7 Н; 3)5,4 Н; 4) 3,4 Н; 5)1,7 Н.
Решение. Покажем силы, которые действуют на брусок:

\[ {{\vec{F}}_{tr}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}=0, \]

Найдем проекции на ось Х и ось Y:

\[ oX:F\cos \alpha +{{F}_{tr}}-m\cdot g\cdot \sin \alpha =0\ \ \ (1),\ oY:N-m\cdot g\cdot \cos \alpha -F\sin \alpha =0\ \ \ (2), \]

сила трения находится по формуле:

\[ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3). \]

выразим из (2) N и подставим в (3) и (3) подставим в (1) и выразим F:

\[ F\cdot \cos \alpha +\mu \cdot g\cdot m\cdot \cos \alpha +\mu \cdot F\cdot \sin \alpha -m\cdot g\cdot \sin \alpha =0, \]

\[ F=\frac{m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha }{\cos \alpha +\mu \cdot \sin \alpha }, \]

F = 3,4 Н. Ответ: 4) 3,4 Н.

[Сергей]

Вариант 4. А7. Тело плавает в керосине, погрузившись на 0,75 своего объёма плотность керосина ρ_к = 800 кг/м³, то плотность тела равна:
1) 400 кг/м³; 2) 500 кг/м³; 3) 600 кг/м³; 4) 700 кг/м³; 5) 800 кг/м³.
Решение. Запишем условие плавания тела на поверхности жидкости и выразим плотность тела:

\[ m\cdot g={{\rho }_{K}}\cdot g\cdot 0,75\cdot V,\ {{\rho }_{T}}\cdot V={{\rho }_{K}}\cdot 0,75\cdot V,\ {{\rho }_{T}}=0,75\cdot {{\rho }_{K}}, \]

ρ_Т = 600 кг/м³.
Ответ: 3) 600 кг/м³.

[Сергей]

Вариант 4. А8. В сосуде находится идеальный газ массой m = 1,0 кг при давлении р = 1,0∙ 10⁵ Па. Если средняя квадратичная скорость молекул газа υ_кв = 400 м/с, то объем, который он занимает, равен:
1) 0,050 м³; 2) 0,15 м³; 3) 0,26м³; 4) 0,53 м³; 5) 0,81 м³.
Решение. Запишем основное уравнение МКТ:

\[ p=\frac{1}{3}\cdot n\cdot {{m}_{0}}\cdot \left\langle \upsilon _{KB}^{2} \right\rangle \ \ \ (1). \]

Учитываем, что:

\[ n=\frac{N}{V}\ \ \ (2),\ N\cdot {{m}_{0}}=m\ \ \ (3), \]

подставим (2) в (1) и (3) в (1), выразим V:

\[ V=\frac{m\cdot \left\langle \upsilon _{KB}^{2} \right\rangle }{3\cdot p}, \]

V = 0,53 м³.
Ответ: 4) 0,53 м³.

[Сергей]

Вариант 4. А9. На рисунке представлены две изохоры для одной и той же массы газа. Если углы наклона изохор к оси абсцисс равны α₁ и α₂, то объёмы газов
V₁/V₂ относятся как:
1) tgα₁/tgα₂; 2) sinα₂/sinα₁; 3) tgα₂/tgα₁; 4) sinα₁/sinα₂; 5) соsα₂/соsα₁. 
Решение. Из рисунка запишем формулы функции тангенса α₁ и тангенса α₂, выразим p₁ и p₂:

\[  tg{{\alpha }_{1}}=\frac{{{p}_{1}}}{T},\ {{p}_{1}}=tg{{\alpha }_{1}}\cdot T\ \ \ (1),\ tg{{\alpha }_{2}}=\frac{{{p}_{2}}}{T},\ {{p}_{2}}=tg{{\alpha }_{2}}\cdot T\ \ \ (2).\  \]

Запишем уравнение состояния идеального газа для первой и второй изохоры:

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot T\ \ \ (3),\ {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}=\nu \cdot R\cdot T\ \ \ (4). \]

Правые части уравнений (3) и (4) одинаковы, приравняем левые части:

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}={{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\ \ \ (5). \]

Выразим из (5) V₁/V₂ и подставим в эти уравнения (1) и (2):

\[ \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}},\ \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{T\cdot tg{{\alpha }_{2}}}{T\cdot tg{{\alpha }_{1}}},\ \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{tg{{\alpha }_{2}}}{tg{{\alpha }_{1}}}. \]

Ответ: 3) tgα₂/tgα₁. 

[Сергей]

Вариант 4. А10. Льдинка, имеющая температуру t₁ = -5,0 ⁰С и некоторую скорость υ, ударяется о неподвижную преграду. Если при ударе о пре граду η = 70 % кинетической энергии льдинки переходит в теплоту, то модуль минимальной скорости, которую должна иметь льдинка, чтобы при ударе о преграду она расплавилась, составляет:
1) 30 м/с; 2) 60 м/с; 3) 90 м/с; 4) 0,20 км/с; 5) 0,99 км/с.
Решение. При ударе о преграду 0,7 кинетической энергии льдинки переходит в теплоту, запишем это условие:

\[ \eta \cdot {{E}_{k}}=Q\ \ \ (1). \]

\[ \begin{align}
  & {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ (2),\ Q={{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}\ \ \ (3), \\
 & {{Q}_{1}}=c\cdot m\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})\ \ \ (4),\ {{Q}_{2}}=\lambda \cdot m\ \ \ (5). \\
\end{align}
 \]

Где: с - удельная теплоемкость льда, с = 2100 Дж/(кг∙⁰С), λ – теплота плавления льда, λ = 3,3∙10⁵ Дж/кг, t₂ = 0⁰С, t₂ – температура плавления льда.
Подставим (5) и (4) в (3), (3) и (2) в (1), выразим скорость:

\[ \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot (c\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})+\lambda )}{\eta }}, \]

υ = 986,3 м/с.
Ответ: 5) 0,99 км/с.

[Сергей]

 Вариант 4. А11. Относительная влажность воздуха в помещении при температуре t₁ = 20 °С равна φ₁ = 80%. Воздух в закрытом помещении нагревают до t₂ = 30 °С. Если давление насыщенного водяного пара при t₁ = 20 °С р₁ = 2,34 кПа, а при t₂ = 30 °с — р₂ = 4,24 кПа, то относительная влажность воздуха станет равной:
1) 60 %; 2) 55 %; 3) 50 %; 4) 46 %; 5) 36 %.
Решение. Относительная влажность определяется как отношение давления водяного пара к давлению насыщенного пара при данной температуре:

\[ {{\varphi }_{1}}=\frac{p}{{{p}_{1}}}\cdot 100%. \]

Вычислим давление водяного пара при 20 ⁰С:
р = 1872 Па.
При изменении температуры воздуха в закрытом помещении давление водяного пара не изменилось, определим относительную влажность при 30 ⁰С:

\[ {{\varphi }_{2}}=\frac{p}{{{p}_{2}}}\cdot 100%. \]

φ₂ = 44 %. Ответ: 4) 46 %.