11. Закон Кулона

[Виктор]

А1.10.Точечные положительные заряды q и 2q закреплены на расстоянии r друг от друга в вакууме. На середине прямой, соединяющей заряды, поместили точечный отрицательный –q (рис. 11.1) заряд. При этом у силы, действующей на положительный заряд q:
1) модуль не изменился, направление изменилось на противоположное;
2) модуль силы уменьшился в два раза, направление изменилось на противоположное;
3) модуль силы стал равен нулю;
4) модуль силы увеличился в 2 раза, направление не изменилось;
5) модуль силы увеличился в 3 раза, направление не изменилось.
Решение: перед тем, как поместили третий заряд на первый (q) действовала только одна сила – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда +2q. Модуль этой силы равен
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|+2q\right|}{r^{2} } =2\cdot \frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
После того как поместили третий отрицательный заряд –q, на первый начала действовать сила кулоновского притяжения со стороны третьего, равная
\[ F_{2} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|-q\right|}{\left(\frac{r}{2} \right)^{2} } =4\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{r^{2}} =2F_{1}. \]
Так как силы противоположно направлены, то модуль их равнодействующей равен разности сил F₂ – F₁ = F₁. Направление равнодействующей противоположно направлению F₁.
Ответ: 1) модуль не изменился, направление изменилось на противоположное.

[Виктор]

А2.1. Стеклянную палочку наэлектризовали и её заряд q  стал равным 6,4∙10^–9 Кл. Масса стеклянной палочки:
1) увеличилась на 3,6∙10^–20 кг;     2) уменьшилась на 3,6∙10^–20 кг;     3) увеличилась на 1,8∙10^–20 кг;    4) уменьшилась на 1,8∙10^–20 кг;  5) не изменилась.
Решение: на стеклянной палочке, заряженной положительно, будет недостаток электронов, т.е. при электризации масса уменьшилась (палочка потеряла электроны, см. задание А1.2). Воспользуемся свойством дискретности заряда: любой электрический заряд кратен элементарному заряду е
\[ q=N\cdot e,{\rm \; \; \; \; \; \; }N=\frac{q}{e}. \]
Масса электрона m_e = 9,1∙10^–31 кг, тогда масса палочки уменьшилась на:
\[ \Delta m=N\cdot m_{e} =\frac{q\cdot m_{e} }{e} =3,6\cdot 10^{- 20}. \]
Ответ: 2) уменьшилась на 3,6∙10–20 кг.

[Виктор]

А2.2. Модуль силы электрического взаимодействия между двумя протонами, находящимися на расстоянии l = 1,0∙10^–10 см друг от друга, равен:
1) 2,3∙10^–18 Н;     2) 2,3∙10^–16 Н;     3) 2,3∙10^–8 Н;    4) 4,6∙10^–5 Н;    5) 2,3∙10^–4 Н.
Решение: заряд протона положителен и равен элементарному заряду е =  1,6∙10^–19 Кл, тогда запишем закон Кулона (k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл², l – в метрах)
\[ F=\frac{k\cdot e^{2}}{l^{2}}. \]
Ответ: 5) 2,3∙10^–4 Н.

[Виктор]

А2.3. Точечные заряды 1 и 2 закреплены. Заряд 3 может перемещаться. Этот заряд (рис. 11.2):
1) перемещается с ускорением влево;   2) перемещается равномерно влево; 3) остаётся в покое;  4) перемещается равномерно вправо; 
5) перемещается с ускорением вправо.
Решение: на третий заряд действуют две силы: F₁ – сила кулоновского притяжения со стороны первого, направленная влево и F₂ – сила кулоновского отталкивания со стороны второго заряда, направленная вправо. Модули этих сил рассчитаем по закону Кулона
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|-4q\right|\cdot \left|q\right|}{\left(2r\right)^{2}} =\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}} ,{\rm \; \; \; }F_{2} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|+q\right|}{r^{2} } =\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
Силы равны по модулю и противоположно направлены. Равнодействующая этих сил равна нулю.
Ответ: 3) остаётся в покое.

[Виктор]

А2.4. Четыре заряда, равные по абсолютному значению, находятся в вершинах квадрата (рис. 11.3). Если предоставить им возможность свободно перемещаться только под действием кулоновских сил, то:
1) заряды будут сближаться; 
2) заряды будут удаляться друг от друга; 
3) система будет в неустойчивом равновесии;
4) система будет в устойчивом равновесии;
5) однозначного ответа дать нельзя.
Решение: на любой заряд действует три силы со стороны оставшихся зарядов. Изобразим силы, действующие на заряд (т.к. картинка симметрична, то изобразим только на один, например левый верхний – см. рис.). Пусть сторона квадрата равна a, тогда диагональ квадрата a√2. По закону Кулона:
\[ F_{1} =F_{2} =F=\frac{k\cdot q^{2}}{a^{2}} ,{\rm \; \; \; }F_{3} =\frac{k\cdot q^{2} }{\left(a\sqrt{2} \right)^{2}} =\frac{1}{2} \frac{k\cdot q^{2}}{a^{2}} =\frac{1}{2}F.  \]
Модуль равнодействующей этих сил (см.рис.):
\[ F_{0} =F_{12} -F_{3} =\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2}} -F_{3} =F\cdot \left(\sqrt{2} -\frac{1}{2} \right). \]
Равнодействующая направлена к центру квадрата. Таким образом
Ответ: 1) заряды будут сближаться.

[Виктор]

А2.5. Маленький шарик массой m и зарядом q подвешен на нити. Снизу  к нему подносят одноимённый и увеличенный в 3 раза заряд. Модуль силы натяжения нити уменьшился при этом в 9 раз. Расстояние между зарядами q и 3q равно:
\[ 1)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{4\sqrt{2\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }2)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }3)\frac{3\cdot q}{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }4)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{\sqrt{2\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }5)\frac{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg} }{3\sqrt{3} \cdot q}.  \]
Решение: в начальный момент на шарик действуют две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F – сила натяжения нити, направленная вертикально вверх.  После того, как снизу располагают заряд на расстоянии r от шарика, на него будут действовать три силы: mg - направленная вертикально вниз,  F/9 –направленная вертикально вверх и F_k  - сила кулоновского отталкивания, направленная вертикально вверх (см. рис.). Т.к. шарик неподвижен, то сумма этих сил равна нулю, соответственно и сумма проекций сил на выбранную координатную ось также равна нулю, т.е.
\[ F-mg=0,{\rm \; \; \; \; }\frac{F}{9} +F_{k} -mg=0, \]
Выразим F из первого уравнения, подставим во второе и воспользуемся законом Кулона
\[ \begin{array}{l} {F_{k} =\frac{8}{9} mg,{\rm \; \; \; \; \; }F_{k} =\frac{\left|q\right|\cdot \left|3q\right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} =\frac{3q^{2} }{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} ,} \\ {\frac{3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2} } =\frac{8}{9} mg,{\rm \; \; \; \; \; \; }r^{2} =\frac{9\cdot 3q^{2}}{4\cdot 8\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}.} \end{array} \]
Ответ: 1)

[Виктор]

А2.6. Поверхностная плотность заряда на металлическом шаре σ = 10 мкКл/м². Радиус шара R = 10 см. Величина заряда шара равна:
1) 1,0∙10^–7 Кл;   2) 6,3∙10^–7 Кл;   3) 1,3∙10^–6 Кл;    4) 3,1∙10^–6 Кл;  5) 3,1∙10^–5 Кл.
Решение: поверхностная плотность заряда — есть отношение заряда к площади заряженной поверхности. Площадь поверхности шара равна S = 4π∙R² . Таким образом, заряд шара равен:
\[ q=\sigma \cdot S=\sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2}. \]
Ответ: 3) 1,3∙10^–6 Кл.

[Виктор]

А2.7. Два закреплённых точечных заряда q и –9q находятся на расстоянии l друг от друга. На каком расстоянии от заряда –9q нужно поместить точечный заряд 2q, чтобы он находился в равновесии?
1) 2l/3;      2) 3l/4;        3) 4l/3;       4) 3l/2;       5) 2l.
Решение: для того, чтобы заряд находился в равновесии, сумма сил, действующих на него должна быть равна нулю. На заряд 2q действует кулоновская сила отталкивания F₁ со стороны заряда q, и сила притяжения F₂, со стороны заряда  –9q. Эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. При этом, заряд 2q должен находится на прямой, соединяющей заряды q и –9q, ближе к заряду q, дальше от заряда –9q и не между этими зарядами (см. рис.). Обозначим искомое расстояние через x и запишем условие равновесия:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|2q\right|}{\left(x-l\right)^{2}} =\frac{k\left|-9q\right|\cdot \left|2q\right|}{x^{2}} ,} \\ {\sqrt{\frac{1}{\left(x-l\right)^{2} } } =\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} ,\frac{1}{x-l} =\frac{3}{x} ,} \\ {x=\frac{3l}{2} .} \end{array} \]
Ответ: 4) 3l/2.

[Виктор]

А2.8. Три точечных заряда q₁ = q₂ = 24нКл и q₃ = –24нКл расположены вдоль одной прямой. Расстояния между соседними зарядами одинаковы: r = 12 см. Модуль равнодействующей силы, с которой заряды действуют на заряд q₂, равен:
1) 0,18 мН;       2) 0,36 мН;       3) 0,54 мН;      4) 0,72 мН;       5) 1,4 мН.
Решение: будем считать, что заряды вдоль прямой расположены в порядке перечисления. На заряд q₂ действует кулоновская сила отталкивания F₂₁ со стороны заряда q₁, и сила притяжения F₂₃, со стороны заряда  q₃. Эти силы направлены в одну сторону (см. рис.), поэтому модуль их равнодействующей равен сумме модулей этих сил.
\[ F=F_{21} +F_{23} =\frac{k\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{1} \right|}{r^{2} } +\frac{k\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{r^{2} } =\frac{k\left|q_{2} \right|}{r^{2} } \left(\left|q_{1} \right|+\left|q_{3} \right|\right). \]
Ответ: 4) 0,72 мН.

[Виктор]

А2.9. Шарик массой m подвешен на нити в воздухе и имеет заряд q. Снизу от него на расстоянии r помещают второй шарик. Натяжение нити, удерживающей шарик, при этом увеличилась в n раз. Заряд второго шарика равен:
\[ \begin{array}{l} {1)\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|;{\rm \; \; }2)-\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|;{\rm \; \; }3)\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \cdot n}{q} ;{\rm \; \; }} \\ {4)-\left|\frac{mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot q} \right|;{\rm \; \; }5)-\left|\frac{mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|.} \end{array} \]
Решение: это задание очень похоже на задачу А2.5, только сила натяжения увеличилась (т.е. сила кулоновского взаимодействия шариков будет направлена вниз.). Это означает, что заряд второго шарика противоположного знака. Если считать первый шарик заряженным положительно, тогда второй будет заряжен отрицательно. Запишем условие равновесия
\[ F-mg=0,{\rm \; \; \; \; }n\cdot F-F_{k} -mg=0, \]
Выразим F из первого уравнения, подставим во второе и воспользуемся законом Кулона
\[ \begin{array}{l} {F_{k} =\left(n-1\right)\cdot mg,{\rm \; \; \; \; \; }F_{k} =\frac{\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} ,} \\ {\frac{\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} =\left(n-1\right)\cdot mg,{\rm \; \; \; \; \; \; }q_{x} =\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2} \cdot \left(n-1\right)\cdot mg}{q} \right|.} \end{array} \]
Ответ: 2) (заряд должен быть отрицательным)