11. Закон Кулона

[Виктор]

А2.10. Одноимённые точечные заряды q₁ = q₂ = q₃ = q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Модуль силы, действующей в вакууме на каждый заряд, равен:
\[ 1)\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }2)\frac{q^{2} \sqrt{3}}{8\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }3)\frac{q^{2} \sqrt{3}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }4)\frac{q^{2} \sqrt{3} }{2\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }5)\frac{3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}}. \]
Решение: заряды равны, расстояния между ними одинаковые, поэтому силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю. Изобразим силы, действующие на третий заряд со стороны оставшихся двух (см. рис.). Модули сил определим по закону Кулона. Модуль равнодействующей этих сил F₀ определим по теореме косинусов для диагонали параллелограмма (угол между сторонами в нашем случае равен 60° т.к. треугольник равносторонний)
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} =F=\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}},} \\ {F_{0} =\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2} +2\cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot \cos 60{}^\circ } =F\sqrt{3}.} \end{array} \]
Ответ: 3).

[Виктор]

В1.1. Имеется некоторое вещество в количестве ν = 0,50 моль. Если у каждой тысячной молекулы отнять один электрон, то вещество приобретёт заряд, равный …Кл.
Решение: зная количество вещества, определим число молекул N, разделив его на тысячу, найдём число электронов. Заряд вещества будет положительным и равным по модулю суммарному заряду отнятых электронов
\[ \begin{array}{l} {N=\nu \cdot N_{a} ,N_{e} =\frac{\nu \cdot N_{a}}{1000} ,} \\ {q=N_{e} \cdot e=\frac{\nu \cdot N_{a} \cdot e}{1000}.} \end{array} \]
N_a = 6.02∙10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро, e = 1,6∙10^-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона равен отрицательному элементарному).
Ответ: 48 Кл.

[Виктор]

В1.2. Два положительных точечных заряда взаимодействуют в вакууме с силой, модуль которой F = 2,0 Н. Один заряд больше другого в k = 9 раз. Расстояние между зарядами r = 100 см. Величина Q большего заряда равна … мкКл.
Решение: пусть q = Q/9 – меньший заряд. Запишем закон Кулона и найдём Q
\[ \begin{array}{l} {F=\frac{k\cdot Q\cdot \frac{Q}{9}}{r^{2}} =\frac{k\cdot Q^{2} }{9\cdot r^{2}} ,} \\ {Q=3r\cdot \sqrt{\frac{F}{k}} .} \end{array} \]
Ответ: 45 мкКл.

[Виктор]

В1.3. Два закреплённых точечных заряда q и 9q находятся на расстоянии l = 1,0 м друг от друга. Расстояние r от заряда q, на котором нужно поместить заряд 2q, чтобы он находился в равновесии, составляет … см.
Решение: (см. реш. А2.7.) для того, чтобы заряд находился в равновесии, сумма сил, действующих на него должна быть равна нулю. На заряд 2q действует кулоновские силы отталкивания F₁ со стороны заряда q, и F₂, со стороны заряда   9q. Эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. При этом, заряд 2q должен находится на прямой, соединяющей заряды q и 9q, ближе к заряду q, дальше от заряда 9q, между этими зарядами (см. рис.). Запишем условие равновесия:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|2q\right|}{r^{2} } =\frac{k\left|9q\right|\cdot \left|2q\right|}{\left(l-r\right)^{2}},} \\ {\sqrt{\frac{1}{r^{2}}} =\sqrt{\frac{9}{\left(l-r\right)^{2}}} ,\frac{1}{r} =\frac{3}{l-r},} \\ {r=\frac{l}{4}.} \end{array} \]
Ответ: 25 см.

[Виктор]

В1.4. Каждая из двух одинаковых сферических капелек воды имеет заряд, равный элементарному электрическому заряду. Если сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу гравитационного притяжения, то радиус r капельки равен … мкм.
Решение: будем считать, что расстояние между капельками R значительно больше радиуса r капельки. Масса капельки m = ρ∙V, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, V = 4πr³/3 – объём шара. Воспользуемся законом всемирного тяготения для определения силы гравитационного притяжения F_g и законом Кулона, для определения силы электрического отталкивания F_k. По условию задачи, эти силы равны по модулю, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F_{g} =F_{k} ,{\rm \; \; \; \; \; }G\cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2} }{R^{2} } =k\cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{R^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; }G\cdot m^{2} =k\cdot e^{2},} \\ {G\cdot \left(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3} \right)^{2} =k\cdot e^{2},} \\ {r=\sqrt[{6}]{\frac{9\cdot k\cdot e^{2}}{16\cdot G\cdot \rho ^{2} \cdot \pi ^{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 76 мкм.

[Виктор]

В1.5. Точечный заряд q = 2,0∙10^-9 Кл находится на расстоянии r = 30 мм от металлической заземлённой стенки. Модуль силы, с которой взаимодействуют точечный заряд и стенка, равен …мкН.
Решение: под действием электрического поля заряда q электроны пластины придут в движения и начнут скапливаться под точечным зарядом, создавая отрицательный индуцированный заряд (пластина заземлена, то эти заряды натекут из заземления). Потенциал пластины постоянен и равен нулю.
Воспользуемся методом изображений, т.е. взаимодействие пластины с зарядом идентично взаимодействию двух точечных зарядов. Действительно, поле, создаваемое двумя точечными зарядами q₁ = +q и q₂ = –q , находящимися на расстоянии 2r друг от друга имеет во всех точках плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющими заряды и проходящей через ее середину, потенциал равный нулю, так как эти точки находятся на равном расстоянии от двух зарядов равных по величине и противоположных по направлению (см. рис.). Таким образом, сила взаимодействия будет равна
\[ F=k\cdot \frac{\left|q\right|\cdot \left|-q\right|}{\left(2r\right)^{2}} =\frac{k\cdot q^{2}}{4\cdot r^{2}}. \]
Ответ: 10 мкН.

[Виктор]

В1.6. Два одинаковых проводящих шарика, расположенные в вакууме и имеющие заряды q₁ = 38 нКл и q₂ = –18нКл, соприкоснулись и разошлись на расстояние r = 10 см. Модуль силы взаимодействия между ними после соприкосновения равен … мкН.
Решение: при соприкосновении заряд межу шариками перераспределится, а т.к. шарики одинаковые, то на них будут одинаковые заряды q. Запишем закон сохранения электрического заряда:
\[ q_{1} +q_{2} =2q,{\rm \; \; \; \; \; \; }q=\frac{q_{1} +q_{2}}{2}. \]
Запишем закон Кулона для шариков после соприкосновения
\[ F=\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}} =\frac{k\cdot \left(q_{1} +q_{2} \right)^{2} }{4\cdot r^{2}}. \]
Ответ: 90 мкН.

[Виктор]

В1.7. Согласно ядерной модели атом водорода состоит из протона и электрона, вращающегося вокруг протона по круговой орбите радиусом R = 0,53∙10^-10 м. Модуль скорости движения электрона по орбите равен … км/с.
Решение: при движении по окружности центростремительное ускоре-ние электрону (имеющему отрицательный элементарный заряд e) сообщает сила кулоновского взаимодействия (притяжения) со стороны положительно заряженного протона (заряд протона равен элементарному). Запишем второй закон Ньютона, учтём, что центростремительное ускорение a = υ²/R, e = 1,6∙10^-19 Кл, масса электрона m = 9,1∙10^-31 кг:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot e^{2}}{R^{2}} =m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R},} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{k\cdot e^{2} }{m\cdot R}}.} \end{array} \]
Ответ: 2,2∙10³ км/с.

[Виктор]

В1.8. Два одинаковых маленьких шарика подвешены на лёгких нитях длиной l = 1,1 м, закреплённых в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковые заряды q = 1,0 мкКл, нити разошлись так, что угол между ними стал φ = 60°. Масса шарика равна …г.
Решение:  шарики находятся в равновесии: сумма сил равна нулю. T – сила натяжения нити, F – сила кулоновского отталкивания, mg – сила тяжести (см. рис.). Угол α = φ/2.
В проекциях на систему координат:

Ось X:   F = T∙ sinα,
Ось Y:   mg = T∙ cosα,

разделим уравнения, учтём закон Кулона и что расстояние между шариками r =2∙l∙sinα:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2} \cdot mg} =tg\alpha ,} \\ {m=\frac{k\cdot q^{2} }{4\cdot l^{2} \cdot g\cdot \sin ^{2} \left(\frac{\phi }{2} \right)\cdot tg\left(\frac{\phi }{2} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 1,3 г.

[Виктор]

В1.9. В вершинах равностороннего треугольника, сторона которого а = 50 мм, находятся одинаковые заряды q = 0,32 мкКл. Модуль силы, действующей на один из них, равен …Н.
Решение: см. решение задания А2.10.
\[ F_{0} =\frac{q^{2} \sqrt{3} }{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}}. \]
Ответ: 0,64 Н.