11. Закон Кулона

[Виктор]

В1.10. Тонкая шёлковая нить выдерживает максимальную силу натя-жения, модуль которой F = 18 мН. На нити в воздухе подвешен маленький шарик массой m = 1,2 г с зарядом q₁ = 20 нКл. Снизу по линии подвеса к нему подносят шарик, заряд которого q₂ = –16 нКл. Нить разорвётся, когда расстояние между центрами шариков будет равно …мм.
Решение: пусть искомое расстояние между шариками рано r. На шарик, висящий на нити действуют три силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F – сила натяжения нити, направленная вертикально вверх и F_k  - сила кулоновского притяжения, направленная вертикально вниз (см. рис.). В момент разрыва нити можно считать, что сумма этих сил равна нулю, соответственно и сумма проекций сил на выбранную координатную ось также равна нулю, т.е.
\[ F-mg-F_{k} =0, \]
Воспользуемся законом Кулона, и найдём расстояние
\[ \begin{array}{l} {k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}} =F-mg,} \\ {r=\sqrt{\frac{k\cdot \left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{F-mg}}.} \end{array} \]
Ответ: 22 мм.

[Виктор]

В2.1. Если из каждого десятого атома частички удалить по одному электрону, то заряд частички свинца массой m = 1,0∙10^-3 г будет равен …мКл. Масса моля свинца согласно периодической системе элементов A = 0,207 кг/моль.
Решение: заряд частички буде положительным и равным по модулю суммарному заряду удалённых электронов. Число удалённых электронов определим, зная массу вещества и молярную массу:
\[ \begin{array}{l} {N=\frac{m}{A} \cdot N_{a} ,N_{e} =\frac{m\cdot N_{a} }{10\cdot A} ,} \\ {q=N_{e} \cdot e=\frac{m\cdot N_{a} \cdot e}{10\cdot A} .} \end{array} \]
N_a = 6.02∙10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро, e = 1,6∙10^-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона).
Ответ: 47 мКл.

[Виктор]

В2.2. Точечные заряды +q и +9q, где q = 80 нКл, расположены на расстоянии l = 80 см друг от друга. Что бы вся система находилась в равновесии, нужно взять заряд … нКл и поместить его на расстоянии … см от первого заряда.
Решение: для того, чтобы система находилась в равновесии, сумма сил, действующих на заряды должна быть равна нулю. Искомый заряд q_x должен быть отрицательным и находится на прямой, соединяющей заряды +q и +9q, ближе к заряду q, дальше от заряда +9q, между этими зарядами. На каждый из зарядов действует пара сил, причём эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению (см. рис.). Обозначим искомое расстояние через x, индексы у сил – по номерам зарядов. Условие равновесия достаточно записать для двух зарядов. Запишем для заряда q_x:
\[ \begin{array}{l} {F_{{\rm x}1} =F_{x2} ,\frac{k\left|q_{x} \right|\cdot \left|q\right|}{x^{2} } =\frac{k\left|q_{x} \right|\cdot \left|9q\right|}{\left(l-x\right)^{2}} ,} \\ {\sqrt{\frac{1}{x^{2}}} =\sqrt{\frac{9}{\left(l-x\right)^{2}}} ,\frac{1}{x} =\frac{3}{l-x} ,} \\ {x=\frac{l}{4}.} \end{array} \]
Теперь запишем условие равновесия для заряда q:
\[ \begin{array}{l} {F_{12} =F_{1x} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|9q\right|}{l^{2}} =\frac{k\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{x^{2}},} \\ {\frac{9q}{l^{2}} =\frac{\left|q_{x} \right|}{\left(\frac{l}{4} \right)^{2}} ,9q=16\cdot \left|q_{x} \right|,} \\ {\left|q_{x} \right|=\frac{9}{16} q.} \end{array} \]
Ответ: 20 см, – 45 нКл.

[Виктор]

В2.3. В центр квадрата, в вершинах которого находится по заряду Q = 18 нКл, помещён отрицательный заряд. Величина этого заряда, чтобы система находилась в равновесии, должна быть равна … нКл.
Решение: для того, чтобы система находилась в равновесии, сумма сил, действующих на заряды должна быть равна нулю. На любой заряд действует четыре силы со стороны остальных зарядов. Изобразим силы, действующие на заряд (т.к. картинка симметрична, то изобразим только на один, например левый верхний – см. рис.). Пусть сторона квадрата равна a, тогда диагональ квадрата a√2, искомый заряд равен q. По закону Кулона рассчитаем силы:
\[ F_{2} =F_{4} =\frac{k\cdot Q^{2} }{a^{2} } ,{\rm \; \; \; }F_{3} =\frac{k\cdot Q^{2} }{\left(a\sqrt{2} \right)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } ,{\rm \; \; \; }F_{5} =\frac{k\cdot Q\cdot q}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} =2\cdot \frac{k\cdot Q\cdot q}{a^{2}}. \]
Сумма сил будет равна нулю, т.е (см.рис.):
\[ \begin{array}{l} {\left(\vec{F}_{2} +\vec{F}_{4} \right)+\vec{F}_{3} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; \; \; }\vec{F}_{24} +\vec{F}_{3} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; \; \; }\vec{F}_{0} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; }F_{0} =F_{5} ,} \\ {F_{0} =F_{24} +F_{3} =\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2} } +F_{3} =\frac{k\cdot Q^{2}}{a^{2}} \cdot \left(\sqrt{2} +\frac{1}{2} \right),} \\ {\frac{k\cdot Q^{2}}{a^{2}} \cdot \left(\sqrt{2} +\frac{1}{2} \right)=2\cdot \frac{k\cdot Q\cdot q}{a^{2}} ,} \\ {q=Q\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{1}{4} \right).} \end{array} \]
Ответ: –17 нКл.

[Виктор]

В2.4. Два шарика массами m₁ = m₂ = m = 1,5 г каждый подвешены в вакууме в одной точке на шёлковых нитях. После сообщения одинаковых по модулю отрицательных зарядов q₁ = q₂ шарики разошлись на расстояние r = 10 см и нити образовали угол между ними стал α = 60°. Число электронов, полученных каждым шариком, равно … (полученное значение умножьте на 10^-11)
Решение: задание похоже на задачу В1.8. Шарики находятся в равновесии: сумма сил равна нулю. T – сила натяжения нити, F – сила кулоновского отталкивания, mg – сила тяжести (см. рис.).
В проекциях на систему координат:

Ось X:   F = T∙ sin(α/2),
Ось Y:   mg = T∙ cos(α/2),

разделим уравнения, учтём закон Кулона и свойство дискретности заряда: q = N∙e, где e = 1,6∙10^-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона).
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2} \cdot mg} =tg\frac{\alpha }{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }k\cdot \left(N\cdot e\right)^{2} =tg\frac{\alpha }{2} \cdot r^{2} \cdot mg,} \\ {N=\frac{r}{e} \cdot \sqrt{\frac{mg}{k} \cdot tg\frac{\alpha }{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 6,1.

[Виктор]

В2.5. Три одинаковых маленьких шарика массой m = 0,25 г каждый подвешены в одной точке на одинаковых нитях длиной l = 30 см. Чтобы каждая нить составила с вертикалью угол α = 30°, шарикам нужно сообщить заряды … нКл.
Решение: шарики одинаковой массы, поэтому после установления равновесия они расположатся в вершинах равностороннего треугольника. Пусть сторона треугольника равна a. На шарики действуют силы: T – сила натяжения нити, F – сила отталкивания от двух других шариков, равная равнодействующей двух кулоновских сил, mg – сила тяжести. Сделаем рисунок в двух ракурсах: вид сбоку и сверху, силы изобразим для одного шарика.
Как видно из рисунка: r =l∙sinα,  где r – является также радиусом описанной окружности, тогда сторона треугольника: a = r∙√3. Запишем условие равновесия шарика в проекциях и разделим уравнения, тогда
\[ \begin{array}{l} {F=T\cdot \sin \alpha {\rm ,\; \; \; \; }mg=T\cdot \cos \alpha ,} \\ {F=mg\cdot tg\alpha.} \end{array} \]
С другой стороны сила F равна (по теореме косинусов для параллелограмма)
\[ F=\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2} +2\cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot \cos 60{}^\circ } =\frac{kq^{2}}{a^{2}} \cdot \sqrt{3}. \]
Приравняем, подставим a, r и определим заряд шарика q:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2} }{\left(l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{3} \right)^{2} } \cdot \sqrt{3} =mg\cdot tg\alpha ,} \\ {q=l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3} \cdot mg\cdot tg\alpha }{k}}.} \end{array} \]
Ответ: 79 нКл.

[Виктор]

В2.6. Тонкое кольцо радиусом R = 100 мм равномерно заряжено зарядом Q = 60,0 нКл. В вакууме на оси кольца на расстоянии l = 200 мм от его центра помещён точечный заряд q = 10,0 нКл. Модуль силы, действующей на заряд q, равен … мкН.
Решение: разобьём кольцо на малые участки, несущие заряд q_i. Тогда между шариком и участком кольца (который считаем точечным) возникает сила кулоновского отталкивания. Изобразим данное взаимодействие (см. рис.) Для нахождения силы, действующей на заряд q, воспользуемся принципом суперпозиции сил, т.е. просуммируем силы, действующие на заряд q, и как видно из рисунка,
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =R^{2} +l^{2} ,} \\ {F_{i} =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q_{i}}{R^{2} +l^{2}} ,} \\ {F_{ix} =F_{i} \cdot \cos \alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2}} \cdot \frac{l}{r} =k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Просуммируем силы. Как видно из рисунка, сумма сил на ось Y будет равна нулю, поэтому сила, действующая на заряд равна сумме F_ix, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F=\sum _{i}F_{ix}  =\sum _{i}\left(k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \right) =\frac{k\cdot q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \sum _{i}q_{i}} \\ {F=\frac{k\cdot q\cdot Q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 97 мкН.

[Виктор]

В2.7. Две шайбы массами m₁ = m₂ = 2,0 г, заряженные разноимёнными зарядами q₁ = 1,0 мкКл и q₂ = –1,0 мкКл, связаны нитью длиной l = 100 см. Шайбы находятся на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения по которой μ = 0,20. Чтобы система не двигалась по поверхности, к шайбам нужно приложить внешние силы, минимальный модуль которых равен …мН.
Решение: т.к. шайбы заряжены разноимённо, то они будут притяги-ваться, поэтому сила извне должна быть направлена против силы притяже-ния, что бы удерживать шайбы. Сила трения будет направлена против воз-можного движения. Пусть шайбы находятся на грани скольжения. На каж-дую шайбу действует шесть сил: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, F_tr – максимальна сила трения покоя (сила трения скольжения), F – внешняя сила, F_n - сила натяжения нити и F_k – кулоновская сила притяжения.  Изобразим силы (см. рис.).
Сумма этих сил должны быть равна нулю. В проекциях на систему координат, получим систему уравнений (например, для шайбы 1):
\[  \begin{align}  & {{F}_{k1}}+{{F}_{n}}-{{F}_{tr}}_{1}-F=0, \\  & {{N}_{1}}-{{m}_{1}}g=0, \\  & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{N}_{1}}. \\ \end{align}. \]
Если считать, что внешняя сила должна быть минимальной, то в этом случае нить, связывающая шайбы, не будет натянута, т.е. F_n = 0, тогда
\[ \begin{align}  & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{m}_{1}}g, \\  & F={{F}_{k1}}-{{F}_{tr}}_{1}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{l}^{2}}}-\mu \cdot {{m}_{1}}g. \\ \end{align} \]
Ответ: 5мН.

[Виктор]

В2.8. Вокруг неподвижного шарика с зарядом q = 1,2∙10^-9 Кл вакууме равномерно вращается по окружности отрицательно заряженный шарик. Радиус окружности r = 80 см и много больше размеров шариков. Отношение заряда подвижного шарика к его массе γ = 171. Угловая скорость вращения шарика равна …с.
Решение: пусть подвижный шарик имеет заряд, модуль которого равен Q. При движении по окружности центростремительное ускорение шарику сообщает сила кулоновского взаимодействия (притяжения) со стороны положительно заряженного неподвижного шарика. Запишем второй закон Ньютона, учтём, что центростремительное ускорение a = ω²∙r, ω - угловая скорость,  и Q/m = γ.
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{2} } =m\cdot \omega ^{2} \cdot r,} \\ {\omega ^{2} =\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{3} \cdot m},{\rm \; \; \; \; \; }\omega =\sqrt{\frac{k\cdot q\cdot \gamma }{r^{3}}}.} \end{array} \]
Ответ: 60 рад/с.

[Виктор]

В2.10. Три одинаковых маленьких шарика, соединённые вместе двумя непроводящими пружинами одинаковой жёсткости, расположены в воздухе вдоль одной прямой на гладкой горизонтальной поверхности. Расстояние между крайними шариками l₀ = 10 см. Каждому шарику сообщили одинаковые одноимённые заряды q = 1,0∙10^-6 Кл, и расстояние между крайними шариками стало l = 20 см. Жёсткость пружины равна … Н/м.
Решение: рассмотрим силы, действующие только на один крайний шарик: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, F_y - сила упругости,  F₃₁ и F₃₂ – силы взаимодействия между зарядами.  Изобразим силы (см. рис.).
Шарик в равновесии, сумма сил равна нулю, тогда и сумма проекций также равна нулю. В начальный момент пружины были не деформированы, после сообщения зарядов пружины удлинились, причём каждая на величину Δl = (l – l₀)/2. Сила упругости подчиняется закону Гука: F_y = k∙Δl. Силы взаимодействия между зарядами подчиняются закону Кулона. Запишем условие равновесия в проекции на ось X
\[ \begin{array}{l} {F_{31} +F_{32} -F_{y} =0,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q^{2}}{l^{2}} +\frac{k\cdot q^{2}}{\left(\frac{l}{2} \right)^{2}} -k\cdot \Delta l=0,} \\ {k\cdot \frac{l-l_{0}}{2} =\frac{5\cdot k\cdot q^{2} }{l^{2}},} \\ {k=\frac{10\cdot k\cdot q^{2}}{l^{2} \cdot \left(l-l_{0} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 23 Н/м.