Репетиционное тестирование 1 этап 2013/2014

[alsak]

Здесь вы можете обменяться ответами и решениями по РТ-1 2013/2014 (варианты 1 и 2), задать вопросы.

Вариант 1

А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10
5	2	1	5	5	2	1	5	3	4
А11	А12	А13	А14	А15	А16	А17	А18
2	1	4	5	5	1	4	4
B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11	B12
40	80	21	20	800	300	50	20	10	3	200	30

Вариант 2

А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10
3	3	5	4	4	4	3	4	2	3
А11	А12	А13	А14	А15	А16	А17	А18
2	4	3	4	1	4	3	5
B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10	B11	B12
30	192	56	83	510	40	15	80	18	5 или 15	104	36

[alsak]

А14 Вариант 1.
На рисунке изображен график зависимости скорости изменения силы тока ΔI/Δt в катушке от времени t. Если индуктивность катушки L = 150 мГн, то в момент времени t = 7,5 с ЭДС самоиндукции E_si в катушке равна:

1) 4,8 мВ; 2) 12 мВ; 3) 18 мВ; 4) 24 мВ; 5) 36 мВ.

А14 Вариант 2.
На рисунке изображен график зависимости скорости изменения силы тока ΔI/Δt в катушке от времени t. Если индуктивность катушки L = 20 мГн, то в момент времени t = 25 с ЭДС самоиндукции E_si в катушке равна:

1) 1,3 мВ; 2) 2,0 мВ; 3) 3,3 мВ; 4) 4,0 мВ; 5) 8,0 мВ.

Решение. ЭДС самоиндукции E_si и скорость изменения силы тока ΔI/Δt связаны соотношением
\[E_{si} =-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} .\]
Вариант 1. Из графика находим, что в момент времени t = 7,5 c величина ΔI/Δt = 240 мА/с = 0,240 А/с. Тогда
E_si  = –3,6∙10^–2 В = –36 мВ.
Такого ответа нет. Если брать модуль ЭДС, то правильный ответ будет 5) 36 мВ.
Ответ: 5) 36 мВ.

Вариант 2. Из графика находим, что в момент времени t = 25 c величина ΔI/Δt = 200 мА/с = 0,200 А/с. Тогда
E_si  = –4∙10^–3 В = –4 мВ.
Такого ответа нет. Если брать модуль ЭДС, то правильный ответ будет 4) 4,0 мВ.
Ответ: 4) 4,0 мВ.

[alsak]

В10 Вариант 1.
Прямой горизонтальный проводник длиной l = 0,8 м и массой m = 0,2 кг движется с ускорением, направленным вертикально вниз, в однородном магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику. Модуль индукции магнитного поля B = 0,5 Тл. Если модуль ускорения проводника a = 4 м/с², то сила тока I в проводнике равна … А.
В10 Вариант 2.
Прямой горизонтальный проводник длиной l = 0,4 м и массой m = 0,16 кг движется с ускорением, направленным вертикально вниз, в однородном магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику. Модуль индукции магнитного поля B = 0,2 Тл. Если сила тока в проводнике I = 10 А, то модуль ускорения a проводника равен … м/с².

Решение. На проводник с током в магнитном поле действую сила тяжести (m∙g) и сила Ампера (F_A).
Вариант 1. Так как ускорение a < g, то сила Ампера направлена вверх (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для проводника:
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{A} ,\]
где F_A = I∙B∙l∙sin α, α = 90° (линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику). Тогда
\[0Y:\; \; \; m\cdot a=m\cdot g-F_{A} ,\; \; \; F_{A} =I\cdot B\cdot l=\left(g-a\right)\cdot m,\; \; \; I=\frac{\left(g-a\right)\cdot m}{B\cdot l} .\]
После подстановки чисел получаем:
I = 3 А.
Ответ. 3.

Вариант 2. По условию не понятно направление силы Ампера, поэтому возможны два варианта: а) сила направлена вверх (рис. 1); б) сила направлена вниз (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для проводника:
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{A} ,\]
где F_A = I∙B∙l∙sin α, α = 90° (линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику). Тогда
\[\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; {\rm a})\; \; m\cdot a=m\cdot g-F_{A} ,\; \; \; a=g-\frac{F_{A} }{m} =g-\frac{I\cdot B\cdot l}{m} ;} \\ {0Y:\; \; \; {\rm b})\; \; m\cdot a=m\cdot g+F_{A} ,\; \; \; a=g+\frac{F_{A} }{m} =g+\frac{I\cdot B\cdot l}{m} .} \end{array}\]
После подстановки чисел получаем:
а) a = 5 м/с², b) a = 15 м/с².
Ответ. 5 или 15.
Что-то новенькое в правилах ЦТ или ошибка в условии.

Обсуждение данной задачи на форуме: 1 обсуждение, 2 обсуждение.

[Виктор]

В12. Вариант 2. Маленький шарик, заряд которого q = 3,0 ∙ 10^–6 Кл, подвешенный на невесомой непроводящей и нерастяжимой нити длиной l = 0,86 м, вращается вокруг вертикальной оси так, что нить при движении образует с вертикалью угол  α = 30º. В центре окружности, которую описывает шарик, закреплён точечный заряд q₀ = 1,0 мкКл. Если угловая скорость шарика ω = 2 рад/с, то масса m шарика равна … г.
В12. Вариант 1. Маленький шарик массой m = 8,4 ∙ 10^–5  кг и зарядом  q = 5,0 ∙ 10^–8 Кл, подвешенный на невесомой непроводящей и нерастяжимой нити длиной l = 90 см, движется по окружности вокруг вертикальной оси так, что нить образует с вертикалью угол  α = 30º. Если в центре окружности, которую описывает шарик, закреплён точечный заряд q₀ = 5,0 ∙ 10^–8 Кл, то частота обращения ν шарика равна …об/мин.
Решение: на шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F – сила кулоновского отталкивания (заряд шарика q и точечный заряд q₀ - одноимённые), направленная горизонтально и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. При этом шарик движется по окружности радиуса R, поэтому есть центростремительное ускорение – a. Систему отсчёта выберем следующим образом: ось X направим по ускорению, ось Y вертикально вверх (см. рисунок). Запишем второй закон Ньютона для движущегося шарика:
\[ m\vec{g}+\vec{F}+\vec{T}=m\cdot \vec{a}. \]
Запишем полученное уравнение в проекциях на систему координат:
Ось X:    \[ T\cdot \sin \alpha -F=m\cdot a,  \]
Ось Y:   \[ T\cdot \cos \alpha -mg=0. \]
Учтём, что центростремительное ускорение можно определить по формуле a = ω² ∙ R, где R = l ∙ sinα  – радиус окружности, ω = 2∙π∙ν – угловая скорость шарика,  ν  - частота вращения. Силу F взаимодействия зарядов, определим по закону Кулона:
\[ F=\frac{k\cdot q\cdot q_{0}}{R^{2}},  \]
где k = 9 ∙ 10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности. Таким образом, мы получили систему уравнений:
Вариант 2:
\[ \left\{\begin{array}{l} {T\cdot \sin \alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{l^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } +m\cdot \omega ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha ,} \\ {T\cdot \cos \alpha =mg.} \end{array}\right.  \]
Разделим уравнения друг на друга (избавимся от неизвестной силы натяжения нити) и выразим массу шарика:
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{mg\cdot l^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } +\frac{\omega ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha }{g} ,} \\ {m=\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{l^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot \left(g\cdot tg\alpha -\omega ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha \right)} .} \end{array} \]
После подстановки численных данных, получаем m =36 г.
Ответ: m = 36 г.

Вариант1:
\[ \left\{\begin{array}{l} {T\cdot \sin \alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{l^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } +m\cdot 4\cdot \pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha ,} \\ {T\cdot \cos \alpha =mg.} \end{array}\right.  \]
Разделим уравнения друг на друга (избавимся от неизвестной силы натяжения нити) и выразим частоту вращения:
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{mg\cdot l^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } +\frac{4\cdot \pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha }{g} ,} \\ {\nu =\frac{1}{2\pi \cdot l\sin \alpha } \cdot \sqrt{l\cdot g\cdot \sin \alpha \cdot tg\alpha -\frac{k\cdot q\cdot q_{0} }{m\cdot l\cdot \sin \alpha }}.} \end{array} \]
После подстановки численных данных, получаем ν = 30 об/мин.
Ответ: 30 об/мин.

[Виктор]

В11. Вариант 2. Напряжение в цепи переменного тока изменяется с течением времени по закону U(t) = U₀∙cos(A∙t + B), где A = π/15 рад/с, B = π/30 рад. Если амплитудное значение напряжения U₀ = 120 В, то в момент времени  t = 2,0 с мгновенное значение напряжения U(t) равно …В.
В11. Вариант 1. Зависимость силы тока от времени в цепи переменного тока имеет вид I(t) = I₀∙cos(A∙t + B), где A = 5π/12 рад/с, B = π/6 рад. Если в момент времени t = 0,400 с мгновенное значение силы тока I(t) = 100 мА, то амплитудное значение силы тока I₀ в цепи равно …мА.
Решение 2: т.к. нам известен закон изменения напряжения и все коэффициенты, то остаётся только подставить все данные в уравнение и сделать расчёт, т.е.
\[ \begin{array}{l} {U\left(t\right)=120\cdot \cos \left(\frac{\pi }{15} \cdot 2+\frac{\pi }{30} \right)=120\cdot \cos \left(\frac{4\pi }{30} +\frac{\pi }{30} \right)=120\cdot \cos \left(\frac{\pi }{6} \right),} \\ {U\left(t\right)=120\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{120\cdot 1,73}{2} =103,8\approx 104.} \end{array} \]
Вариант 2   Ответ: U(t) = 104 В.
Решение 1
 т.к. нам известна зависимость силы тока от времени и все коэффициенты, то остаётся только выразить  амплитудное значение силы тока I₀ , подставить все данные в уравнение и сделать расчёт, т.е.
\[ \begin{array}{l} {I_{0} =\frac{I\left(t\right)}{\cos \left(A\cdot t+B\right)} } \\ {I_{0} ==\frac{100}{\cos \left(\frac{5\pi }{12} \cdot 0,400+\frac{\pi }{6} \right)} =\frac{100}{\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)} =200.} \end{array} \]
Вариант 1   Ответ: I₀ = 200 мА.

[Виктор]

В9. Вариант 2. Сила тока в проводнике изменяется в зависимости от времени по закону I(t) = B + Ct, где B = 3 А, C = 0,25 Кл/с². За промежуток времени от t₁ = 4,0 с до t₂ = 8,0 с заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника, равен … Кл.
В9. Вариант 1. Сила тока в проводнике изменяется в зависимости от времени по закону I(t) = B + Ct, где B = 5,0 А, C = – 0,25 Кл/с². За промежуток времени от t₁ = 8,0 с до t₂ = 12 с заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника, равен … Кл.
Решение: для начала воспользуемся определением силы постоянного тока: сила постоянного тока численно равна отношению заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника ко времени его прохождения. Таким образом, заряд равен q = I∙Δt и, если изобразить график зависимости силы тока от времени, то заряд, прошедший через поперечное сечение, численно равен площади фигуры под графиком (см. рис. 1). Для меняющегося тока это также справедливо.
Вариант 2
Изобразив график (в условии задана линейная, возрастающая функция), получаем, что заряд численно равен площади трапеции (см. рис. 2).
Меньшее основание трапеции: I₁ = B + C∙t₁, большее основание: I₂ = B + C∙t₂, высота трапеции: Δt = t₂ – t₁. Таким образом, заряд, прошедший через поперечное сечение проводника будет равен:
Вариант 1
Изобразив график (в условии задана линейная, убывающая функция), получаем, что заряд численно равен площади трапеции (см. рис. 3).
Большее основание трапеции: I₁ = B + C∙t₁, меньшее основание: I₂ = B + C∙t₂, высота трапеции: Δt = t₂ – t₁. Таким образом, заряд, прошедший через поперечное сечение проводника будет равен:
\[ \begin{array}{l} {q=\frac{I_{1} +I_{2} }{2} \cdot \Delta t,} \\ {q=\frac{2B+C\cdot \left(t_{1} +t_{2} \right)}{2} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right).} \end{array} \]
Вариант 2: Ответ: q = 18 Кл.
Вариант 1: Ответ: q = 10 Кл.

[Виктор]

В8. Вариант 2. Человек стоит на расстоянии L = 10 м от вертикального столба, высота которого H = 7,2 м, и видит изображение его верхушки в маленькой луже, находящейся на горизонтальной поверхности Земли. Если глаза человека находятся на уровне h = 1,8 м от поверхности Земли, то расстояние l между лужей и столбом равно … дм.
В8. Вариант 1. Человек стоит на расстоянии L = 10 м от вертикального столба, высота которого H = 6,4 м, и видит изображение его верхушки в маленькой луже, находящейся на горизонтальной поверхности Земли. Если глаза человека находятся на уровне h = 1,6 м от поверхности Земли, то расстояние l между лужей и человеком равно … дм.
Решение: сделаем схематичный рисунок на основании закона отражения света. Для наглядности используем только один световой луч.
Как видно из рисунка, получилось два подобных треугольника. Таким образом, из признака подобия треугольников, получаем
Вариант 2
\[ \begin{array}{l} {\frac{H}{h} =\frac{l}{L-l} ,} \\ {l=\frac{H}{H+h} \cdot L.} \end{array} \]
Ответ: l = 80 дм.
Вариант 1
\[ \begin{array}{l} {\frac{H}{h} =\frac{L-l}{l} ,} \\ {l=\frac{h}{H+h} \cdot L.} \end{array} \]
Ответ: l = 20 дм.

[Виктор]

В7. Вариант 2. Если при изобарном нагревании идеальный одноатомный газ получил количество теплоты Q₁ = 25 Дж, то при изохорном охлаждении до первоначальной температуры газ отдал количество теплоты │Q₂ │, равное … Дж.
В7. Вариант 1. Если при изохорном нагревании идеальный одноатомный газ получил количество теплоты Q₁ = 30 Дж, то при изобарном охлаждении до первоначальной температуры газ отдал количество теплоты │Q₂ │, равное … Дж.
Решение: количество теплоты, полученное (отданное) идеальным газом подчиняется первому закону термодинамики. Запишем его

Q = ΔU + A,

где: ΔU – изменение внутренней энергии идеального газа, A – работа газа против внешних сил. Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется по формуле:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
здесь ν – количество вещества, R – универсальная газовая постоянная, ΔT – изменение температуры газа (одинаково в обоих процессах, описанных в условии задачи т.к. газ вернулся в состояние с первоначальной температурой).
Вариант 2.
Газ совершает работу только в процессе изменения своего объёма, поэтому при изохорном процессе работа газа равна нулю (A₂ = 0). Работу идеального газа при изобарном процессе можно рассчитать следующим образом
\[ A=p \cdot \Delta V = \nu \cdot R\cdot \Delta T.  \]
С учётом всего вышесказанного получаем систему уравнений:
\[ \begin{array}{l} {Q_{1} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T,} \\ {Q_{2} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+0=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Разделив уравнения, определим количество теплоты Q₂:
\[ \frac{Q_{1} }{Q_{2} } =\frac{5}{3} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }Q_{2} =\frac{3}{5} \cdot Q_{1}.  \]
Ответ: │Q₂ │= 15 Дж.
Вариант 1
Газ совершает работу только в процессе изменения своего объёма, по-этому при изохорном процессе работа газа равна нулю (A₁ = 0). Работу идеального газа при изобарном процессе можно рассчитать следующим образом
\[ A_{2} =\nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
С учётом всего вышесказанного получаем систему уравнений:
\[ \begin{array}{l} {Q_{1} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T,} \\ {Q_{2} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Разделив уравнения, определим количество теплоты Q2:
\[ \frac{Q_{1} }{Q_{2} } =\frac{3}{5} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }Q_{2} =\frac{5}{3} \cdot Q_{1}. \]
Ответ: │Q₂ │= 50 Дж.

[Виктор]

В6. Вариант 2. На рисунке представлена зависимость температуры t серебра (c = 250 Дж/(кг∙К)) массой m = 0,30 кг от времени t. При равномерном нагревании серебра до температуры плавления к нему ежесекундно подводилось количество теплоты Q₀, равное … Дж.
Решение: проанализируем график. Участок АВ соответствует нагреванию серебра, находящегося в твёрдом состоянии, участок ВС – плавлению, участок СD – нагреванию серебра, находящегося в жидком состоянии. Нас интересует только нагревание до температуры плавления. Как видно из графика: начальная температура серебра t₀ = 0° С, температура плавления t = 962° С, время нагрева серебра от t₀ до t: Δτ = 30 мин = 1800 с. Количество теплоты сообщаемое телу при нагревании:
\[ Q=c\cdot m\cdot \left(t-t_{0} \right). \]
Тогда при равномерном нагреве количество теплоты сообщаемое телу ежесекундно будет равно:
\[ Q_{0} =\frac{Q}{\Delta \tau } =\frac{c\cdot m\cdot \left(t-t_{0} \right)}{\Delta \tau }. \]
Ответ: 40 Дж.

[Виктор]

В5. Вариант 1. Идеальный одноатомный газ, молярная масса которого М = 4,00 г/моль, находится в сосуде под давлением p = 139 кПа. Если концентрация молекул газа n = 9,80 ∙ 10²⁵ м^–3, то средняя квадратичная скорость <υ_k>  движения молекул газа равна … м/с.
В5. Вариант 2. Идеальный одноатомный газ (М = 4,00 г/моль), число молекул которого N = 6,4 ∙ 10²⁰, находится в сосуде вместимостью V = 1,00 см³. Если средняя квадратичная скорость движения молекул газа <υ_k> = 600 м/с, то давление p на стенки сосуда равно … кПа.
Решение: запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:
\[ p=\frac{1}{3} \cdot n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon _{k} \right\rangle ^{2}, \]
где n = N / V – концентрация молекул газа, m₀ = M / N_a – масса молекулы газа, N_a = 6,02 ∙ 10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро.
Вариант2
Таким образом давление идеального газа на стенки сосуда
\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \frac{M}{N_{a} } \cdot \left\langle \upsilon _{k} \right\rangle ^{2}.  \]
Ответ: 510 кПа.
Вариант 1
Тогда средняя квадратичная скорость <υ_k>  движения молекул газа
\[ \begin{array}{l} {p=\frac{1}{3} \cdot n\cdot \frac{M}{N_{a} } \cdot \left\langle \upsilon _{k} \right\rangle ^{2},} \\ {\upsilon _{k} =\sqrt{\frac{3\cdot p\cdot N_{a} }{n\cdot M}}.} \end{array} \]
Ответ: 800 м/с.