Репетиционное тестирование 1 этап 2013/2014

[Виктор]

В4. Вариант 2. Два маленьких шарика массами m₁ = 18 г и m₂ = 11 г подвешены на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины l так, что поверхности шариков соприкасаются. Первый шарик сначала отклонили таким образом, что нить составила с вертикалью угол α = 60°, а затем отпустили без начальной скорости. Если после неупругого столкновения шарики стали двигаться как единое целое и максимальная высота, на которую они поднялись, h_max = 16 см, то длина l нити равна … см.
В4. Вариант 1. Два маленьких шарика массами m₁ = 30 г и m₂ = 11 г подвешены на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины l = 75 см так, что поверхности шариков соприкасаются. Первый шарик сначала отклонили таким образом, что нить составила с вертикалью угол α = 60°, а затем отпустили без начальной скорости. Если после неупругого столкновения шарики стали двигаться как единое целое, то максимальная высота h_max, на которую они поднялись, равна … см.
Решение: проанализируем задачную ситуацию. В начальный момент первый шарик обладал запасом потенциальной энергии (нить отклонили, следовательно, шарик подняли на высоту h). Перед неупругим столкновением первый шар обладал кинетической энергией, которая равна первоначальной потенциальной (система замкнута). Т.к. столкновение происходит очень быстро, то можно будет воспользоваться законом сохранения импульса. После столкновения у шаров будет начальная скорость, т.е. будет кинетическая энергия, которая перейдёт в потенциальную (шары поднимаются на высоту h_max) – по закону сохранения энергии (при движении шаров систему можно считать замкнутой). Для начала сделаем рисунок.
Начальная ситуация. За ноль отсчёта высоты возьмём нижнюю точку, в которой шары находились первоначально. Начальная скорость шара равна нулю, конечная скорость υ₁. Запишем закон сохранения энергии для первого шара:
\[ \begin{array}{l} {m_{1} \cdot g\cdot h=\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{1}^{2} =2\cdot g\cdot h.{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(1\right)} \end{array} \]
Столкновение. Запишем закон сохранения импульса для неупругого столкновения. Пусть скорость шаров после столкновения равна υ.
\[ \begin{array}{l} {m_{1} \cdot \upsilon _{1} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon ,} \\ {m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{1}^{2} =\left(m_{1} +m_{2} \right)^{2} \cdot \upsilon ^{2} {\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(2\right)} \end{array} \]
Конечная ситуация. Имея начальную скорость υ шары поднялись на высоту h_max. Запишем закон сохранения энергии
\[ \begin{array}{l} {\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g\cdot h_{\max } =\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon ^{2} =2\cdot g\cdot h_{\max } .{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(3\right)} \end{array} \]
Получили систему трёх уравнений (1) – (3). Сделаем подстановку: уравнения (1) и (3) подставим в уравнение (2), тогда
\[ \begin{array}{l} {m_{1}^{2} \cdot 2\cdot g\cdot h{\rm \; }=\left(m_{1} +m_{2} \right)^{2} \cdot 2\cdot g\cdot h_{\max } ,} \\ {h{\rm \; }=\left(\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } \right)^{2} \cdot h_{\max }.} \end{array} \]
Первоначальная высота h, на которую подняли первый шарик связана с длиной нити. Из геометрический соображений (см. рис.)
\[ h=l-l\cdot \cos \alpha ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }h=l\cdot \left(1-\cos \alpha \right). \]
С учётом этого, получаем ответ
вариант 2
\[ l{\rm \; }=\left(\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } \right)^{2} \cdot \frac{h_{\max } }{\left(1-\cos \alpha \right)}. \]
Ответ: 83 см.
Вариант 1
\[ {\rm \; }h_{\max } =\left(\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right). \]
Ответ: 20 см.

[Виктор]

В3. Вариант 2. Тонкостенная пробирка массой m₁ = 24 г, в которую налит бензин (ρ₂ = 700 кг/м³), плавает в воде (ρ₁ = 1000 кг/м³). Если поверхности бензина и воды находятся на одном уровне, то масса m₂ бензина равна … г.
Решение: пробирка плавает, поэтому сумма всех сил, действующих на пробирку с бензином, будет равна нулю.  На пробирку действуют силы: (m₁ + m₂)g – сила тяжести (материал пробирки и бензин), F – сила Архимеда (выталкивающая сила) направленная вверх. Т.к. пробирка тонкостенная и поверхности бензина и воды находятся на одном уровне, то объём налитого в  пробирку бензина равен объёму погружённой части V = m₂ / ρ₂. Тогда выталкивающая сила по закону Архимеда:
\[ F=\rho _{1} \cdot g\cdot V=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m_{2}}{\rho _{2} }. \]
Сила тяжести по модулю равна выталкивающей силе, тогда
\[ \begin{array}{l} {\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }m_{1} +m_{2} =\rho _{1} \cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } ,} \\ {m_{2} =\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot m_{1}.} \end{array} \]
Ответ: 56 г.

[Сергей]

В10 Вариант 2.
Прямой горизонтальный проводник длиной l = 0,4 м и массой m = 0,16 кг движется с ускорением, направленным вертикально вниз, в однородном магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику. Модуль индукции магнитного поля B = 0,2 Тл. Если сила тока в проводнике I = 10 А, то модуль ускорения a проводника равен … м/с².

Решение. На проводник с током в магнитном поле действую сила тяжести (m∙g) и сила Ампера (F_A). По условию не понятно направление силы Ампера, поэтому возможны два варианта: а) сила направлена вверх (рис. 1); б) сила направлена вниз (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для проводника:
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{A} ,\]
где F_A = I∙B∙l∙sin α, α = 90° (линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны проводнику). Тогда
\[\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; {\rm a})\; \; m\cdot a=m\cdot g-F_{A} ,\; \; \; a=g-\frac{F_{A} }{m} =g-\frac{I\cdot B\cdot l}{m} ;} \\ {0Y:\; \; \; {\rm b})\; \; m\cdot a=m\cdot g+F_{A} ,\; \; \; a=g+\frac{F_{A} }{m} =g+\frac{I\cdot B\cdot l}{m} .} \end{array}\]
После подстановки чисел получаем:
а) a = 5 м/с², b) a = 15 м/с².
Ответ. 5 или 15.
Что-то новенькое в правилах ЦТ или ошибка в условии.

Как мне видится тут не совсем "красиво" сформулировано условие. Откуда взялся в проводнике ток? Если из внешнего источника то это одно. Но поскольку об этом не сказано, то надо предполагать, что ток в проводнике следствие его движения в магнитном поле. Тогда возникший ток должен препятствовать движению и как следствие сила Ампера направлена вверх.
Хотя наличие тока предполагает, что проводник куда  то замкнут. 
В общем, как мне кажется, задумка, чтобы вспомнили причины возникновения ЭДС индукции в движущемся проводнике. Я бы решал направив силу Ампера вверх

[alsak]

Как мне видится тут не совсем "красиво" сформулировано условие. Откуда взялся в проводнике ток? Если из внешнего источника то это одно. Но поскольку об этом не сказано, то надо предполагать, что ток в проводнике следствие его движения в магнитном поле. Тогда возникший ток должен препятствовать движению и как следствие сила Ампера направлена вверх.
Хотя наличие тока предполагает, что проводник куда  то замкнут. 
В общем, как мне кажется, задумка, чтобы вспомнили причины возникновения ЭДС индукции в движущемся проводнике. Я бы решал направив силу Ампера вверх

Не совсем так. Обратите внимание, проводник движется с ускорением, т.е. скорость его увеличивается. Если бы мы учитывали здесь явление ЭДС, то сила тока должна изменяться, но по условию не так ("сила тока в проводнике I = 10 А").
Возможно ли это сделать технически? Это уже другой вопрос, и на него не требуется отвечать в данной задаче.

И почитайте переписку Евгения Ливянта с РИКЗ по этому вопросу.

[Виктор]

В2. Вариант 1. Тело массой m = 2,0 кг движется по горизонтальной по-верхности вдоль оси 0х. Кинематический закон движения имеет вид x(t) = A + Bt + Ct², где A = 4,0 м, B = 4,0 м/с, C = 0,5 м/с². Если коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью μ = 0,30, то работа A горизонтально направленной силы тяги за промежуток времени Δt = 2,0 с от начала отсчёта времени равна … Дж.
В2. Вариант 2. Тело массой m = 1,00 кг движется по горизонтальной поверхности вдоль оси 0х. Кинематический закон движения имеет вид x(t) = A + Bt + Ct², где A = 1,00 м, B = 2,00 м/с, C = 1,00 м/с². Если коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью μ = 0,20, то работа A горизонтально направленной силы тяги за промежуток времени Δt = 6,0 с от начала отсчёта времени равна … Дж.
Решение: при движении на тело действуют силы (см. рис.): mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, F_tr – сила трения скольжения (F_tr = μ∙N), F – сила тяги. При этом тело движется с ускорением, проекция которого на ось  0х равна: a_x = 2С (коэффициент в кинематическом законе перед t² равен половине ускорения). Определим силу тяги, записав второй закон Ньютона в проекциях на выбранную систему координат:
\[ \begin{array}{l} {\vec{F}+\vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}_{tr} =m\cdot \vec{a},} \\ {F-F_{tr} =m\cdot a_{x} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }N-mg=0,} \\ {F=m\cdot 2C+\mu \cdot mg.} \end{array} \]
Работа постоянной силы рассчитывается по формуле:
\[ A=F\cdot S\cdot \cos \alpha, \]
здесь α – угол между направлением силы и перемещения (α = 0, cosα = 1). S –  перемещение тела ( а также и пройденный путь т.к. тело движется вдоль прямой и разгоняется) за время Δt, который можно определить как разность координат:  x(Δt) тела в момент времени Δt от начала отсчёта времени и x(0) – в начальный момент времени t = 0. Таким образом
\[ \begin{array}{l} {S=x(\Delta t)-x(0)=A+B\cdot \Delta t+C\cdot \Delta t^{2} -A-B\cdot 0+C\cdot 0^{2} ,} \\ {S=B\cdot \Delta t+C\cdot \Delta t^{2} .} \end{array} \]
Таким образом искомая работа силы тяги
\[ A=m\cdot \left(2C+\mu \cdot g\right)\cdot \left(B\cdot \Delta t+C\cdot \Delta t^{2} \right). \]
Вариант 2
Ответ: 192 Дж.
Вариант 1
Ответ: 80 Дж.

[Виктор]

В1. Вариант 2. Кинематический закон движения тела вдоль оси Ох имеет вид x(t) = A + Bt + Ct², где A = 13 м, B = 12 м/с, C = – 3,0 м/с². За промежуток времени от t₁ = 1,0 с до t₂ = 5,0 с путь s, пройденный телом, равен … м.
Решение: Запишем кинематический закон движения в общем виде:
x(t) = x₀ + υ_0x∙t + a_x∙t²/2.
Сравнив уравнения, получаем:  начальная координата тела –  x₀ = A, проекция начальной скорости на ось Ох –  υ_0x= В, проекция ускорения на ось –  a_x = 2С. Запишем уравнение зависимости скорости от времени
\[ \upsilon _{x} \left(t\right)=\upsilon _{0x} +a_{x} \cdot t,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\upsilon _{x} \left(t\right)=B+2C\cdot t.  \]
Построив график зависимости скорости тела от времени определим пройденный путь, как площадь под этим графиком. Для удобства построения графика подставим коэффициенты в уравнение скорости, сделаем оцифровку осей, тогда получим (см. рис.)
Как видно из графика, пройденный путь численно равен площади двух прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.  Тогда  пройденный путь
\[ s=\frac{1}{2} \cdot 1\cdot 6+\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 18=30  \]
Ответ: 30 м.

[Виктор]

А15. Вариант 2. Два математических маятника совершают свободные колебания. За один и тот же промежуток времени Δt первый маятник совершил N₁ = 30 полных колебаний, а второй – N₂ = 10. Если длина второго маятника l₂ = 90 см, то длина l₁ первого маятника равна:

1)     10 см;     2) 27 см;     3) 30 см;     4) 32 см;     5) 52 см.

А15. Вариант 1. Два математических маятника совершают свободные колебания. За один и тот же промежуток времени Δt первый маятник совершил N₁ = 20 полных колебаний, а второй – N₂ = 10. Если длина первого маятника l₁ = 1,0 м, то длина l₂ второго маятника равна:

1)   0,5 м;     2) 0,7 см;     3) 1,4 м;     4) 2,0 м;     5) 4,0 м.

Решение: период колебаний маятника  - время одного колебания, тогда
\[  \frac{\Delta t}{N_{1}} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l_{1}}{g}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\frac{\Delta t}{N_{2}} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l_{2}}{g}}, \]
Для нахождения l₁ возведём уравнения в квадрат и поделим друг на друга
 \[ \left(\frac{N_{2}}{N_{1} } \right)^{2} =\frac{l_{1}}{l_{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }l_{1} =l_{2} \cdot \left(\frac{N_{2}}{N_{1}} \right)^{2}. \]
Ответ: 1) 10 см
Вариант 1
Для нахождения l₂ возведём уравнения в квадрат и поделим друг на друга
\[ \left(\frac{N_{2} }{N_{1} } \right)^{2} =\frac{l_{1} }{l_{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }l_{2} =l_{1} \left(\frac{N_{1} }{N_{2}} \right)^{2} . \]
Ответ: 5) 4 м

[Сергей]

А1. Абитуриент провел в сети Интернет поиск информации о самых высоких видах деревьев . Результаты поиска он занес в таблицу

№	Название дерева	Максимальная высота
1	Секвойя	1,35·105 мм
2	Дугласия	1,16·104 см
3	Эвкалипт	1,43·102 м
4	Баобаб	30 м
5	Баньян	250 дм

Из указанных в таблице деревьев самое высокое находится в строке, номер которой:
1) 1;   2) 2;   3) 3;   4) 4;   5) 5.

Решение. Сравнение физических величин можно производить только в том случае, если они однородны, т.е. представляют одну и ту же физическую величину. При этом сравнение должно относиться не только к числовым значением, но и к единицам. Выразим предложенные высоты, например, в метрах:
1) 1,35·10⁵ мм = 1,35·10⁵ ·10^-3 м = 1,35·10² м = 135 м
2) 1,16·10⁴ см = 1,16·10⁴ ·10^-2 м = 1,16·10²   м= 116 м
3) 1,43·10² м = 143 м
4) 30 м
5) 250 дм = 250 ·10^-1 м = 25 м.
Ответ: 3) 3

[Сергей]

А2. Наблюдатель услышал раскат грома через промежуток времени Δt = 12 с после вспышки молнии. Если модуль скорости звука в воздухе υ = 333 м/с, то вспышка молнии произошла от наблюдателя на расстоянии L, равном:
1) 2,0 км;   2) 3,0 км;   3) 4,0 км;   4) 5,0 км;   5) 6,0 км;

Решение. Раскаты грома за время Δt распространяться на расстояние

L = υ Δt = 3996 м = 3,996 км = 4,0 км

Ответ: 3) 4,0 км;

[Сергей]

А3. Голубь пролетел расстояние из пункта А в пункт Б, а затем вернулся обратно, двигаясь с той же скоростью относительно воздуха. При попутном ветре, скорость которого была постоянной, путь АБ голубь пролетел за промежуток времени Δt₁ = 20 мин, а путь БА при встречном ветре – за промежуток времени Δt₂ = 37 мин. В безветренную погоду путь АБ голубь пролетел бы за промежуток времени Δt₃ равный:
1) 18 мин;   2) 20 мин;   3) 22 мин;   4) 24 мин;   5) 26 мин;

Решение: Обозначим через υ₁ – скорость голубя относительно земли, υ₂ – скорость ветра. Тогда время, за которое голубь преодолеет расстояние АБ

t=S/υ₁

Время t₁ движения голубя при попутном ветре и время t₂ - при встречном, равны соответственно
 \[ {{t}_{1}}=\frac{S}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}\,\,\,(1);\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{S}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}\,\,\,(2) \]
При решении (1) и (2) получим, что υ₁ = 3,35·υ₂
Тогда
\[ t=\frac{S}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{\left( {{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}} \right)\cdot {{t}_{1}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{\left( 3,35\cdot {{\upsilon }_{2}}+{{\upsilon }_{2}} \right)\cdot {{t}_{1}}}{3,35\cdot {{\upsilon }_{2}}}=1,3\cdot {{t}_{1}} \]
 
Ответ: 5) 26 мин