2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

[Сергей]

Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

Тест А1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест А2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

А1.1 Координату тела, движущегося вдоль оси Ох из состояния покоя, при равноускоренном движении можно определить по формуле:
 \[ 1)\,x={{x}_{0}}+2a{{t}^{2}};\,\,2)\,\,x={{x}_{0}}+a{{t}^{2}};\,3)\,x={{x}_{0}}+\frac{a{{t}^{2}}}{2};\,4)\,x={{x}_{0}}+\frac{a{{t}^{2}}}{4};\,5)\,\,x={{x}_{0}}+at \]

Решение. Кинематический закон прямолинейного движения с постоянным ускорением выражается формулой
 \[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
По условию, тело движется из состояния покоя, т.е υ₀ = 0.
Ответ 3).

[Сергей]

А1.2 Тело начинает движение со скоростью, модуль которой υ₀ = 2,0 м/с. Если за время t = 10 с модуль скорости тела увеличился в п = 5 раз, то модуль ускорения тела равен:
1) 0,20 м/с²;      2) 0,40 м/с²;      3) 0,80 м/с²;      4) 1,0 м/с²   5) 80 м/с².

Решение. Модуль ускорения численно равен модулю изменения скорости за единицу времени
 \[ a=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{t}=\frac{n\cdot {{\upsilon }_{0}}-{{\upsilon }_{0}}}{t} \]
Ответ: 3) 0,80 м/с²

[Сергей]

А1.3 Тело начинает движение с начальной скоростью, модуль которой υ₀ = 1,0 м/с. Если за время t = 4,0 с модуль скорости тела достиг значения υ = 5,0 м/с, то модуль перемещения тела составил:
1) 4,0 м;   . 2) 8,0 м;   3) 12 м;   4) 16 м;   5) 20 м

Решение. Зависимость проекции перемещения от времени:
 \[ \Delta {{r}_{x}}={{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(1) \]
Неизвестной величиной является проекция ускорения а_х. Модуль ускорения численно равен модулю изменения скорости за единицу времени
 \[ {{a}_{x}}=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{t} \]
а_х = 1 м/с². Подставим полученное значение в (1).
Ответ: 3) 12 м;

[Сергей]

А1.4 Модуль ускорения тела а = 1,0 м/с² и направлено ускорение а противоположно его скорости υ. За время t = 2,0 с движения модуль скорости тела изменится на:
1) -4,0 м/с;   2) -2,0 м/с;   3) -1,4 м/с;   4) 1,0 м/с;   5) 2,0 м/с.

Решение. Из определения ускорения

υ_х – υ_0х = а_х·t

По условию ускорение тела противоположно его скорости. Направим ось Ох вдоль направления движения тела. Тогда υ_х = υ, υ_0х = υ0,  а_х·= -а. Тогда

υ – υ₀ = -а·t = -2,0 м/с

Ответ: 2) -2,0 м/с;

[Сергей]

А1.5 Два тела движутся из состояния покоя навстречу друг другу с одинаковым модулем ускорения а = 2,0 м/с². Расстояние между телами в начальный момент времени s = 200м. Модуль относительной скорости тел в момент встречи равен:
1) 40 м/с;   2) 25 м/с;   3) 20 м/с;   4) 10 м/с    5) 0 м/с.

Решение. Так как тела движутся из состояния покоя (υ₀ = 0) с одинаковым ускорением, то к моменту встречи модуль перемещения каждого из них будет равен половине пути. (Δr = s/2), а скорости равны по модулю (υ₁ = υ₂  = υ). Найдем, например, скорость движения первого тела. При движении с постоянным ускорением квадрат проекции мгновенной скорости линейно зависит от проекции перемещения. Направим ось ОХ в направлении движения тела. Тогда υ_х = υ, υ_0х = υ₀,  а_х·= а
\[ \upsilon _{{}}^{2}=\upsilon _{0}^{2}+2\cdot a\cdot \Delta r;\,\,\,\,\upsilon =\sqrt{2\cdot a\cdot \Delta r} \]
Относительная скорость тел, движущихся навстречу друг другу

υ_ot = υ₁ + υ₂ = 2 υ

ответ: 1) 40 м/с;

[Сергей]

А1.6 Если тело свободно падает с некоторой высоты, то через время t = 4,0 с модуль его скорости составит:
1) 4,0 м/с;   2) 16 м/с;   3) 20 м/с;   4) 40 м/с;   5) 80 м/с.

Решение. Зависимость от времени проекции скорости движения тела при свободном падении

υ_у = υ_0у + g_y·t

Направим ось Оу вертикально вниз. Тогда υ_у = υ, υ_0у = υ₀, g_y·= g. Учитывая, что υ₀ = 0

υ = g·t

ответ: 4) 40 м/с;

[Сергей]

А1.7 Если тело бросить вертикально вверх с высоты h = 20 м со скоростью, модуль которой υ₀ = 4,0 м/с, то через время t = 2,0 с после начала движения тело окажется на высоте:
1) 68 м;   2) 40 м;   3) 24 м;   4) 8,0 м;   5) 0 м.

Решение. Направим ось Оу вертикально вверх, Начало координат выберем на поверхности земли (см. рис.). движение тела описывается уравнением
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
где у = Н – конечная координата тела, у₀ = h – начальная координата тела, υ_0у = υ₀ – проекция начальной скорости, а_у = -g – проекция ускорения на ось Оу. Тогда
 \[ H=h+{{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Ответ: 4) 8,0 м;

[Сергей]

А1.8 За третью секунду свободного падения тело пpoxoдит путь, равный:
1) 45 м;   2) 35 м;3) 30 м;   4) 25 м;   5) 15 м.

Решение. Путь s₃, пройденный телом за третью секунду свободного падения, равен пути s(3), пройденному телом за три секунды, минус путь s(2), пройденный телом за 2 секунды. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, υ_0у = 0, g_y = g. Тогда пройденный телом путь
 \[ s=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,\,\,\,{{s}_{3}}=s(3)-s(2)=\frac{g\cdot t_{3}^{2}}{2}-\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}=\frac{g}{2}\cdot \left( t_{3}^{2}-t_{2}^{2} \right) \]
Ответ: 4) 25 м;

[Сергей]

А1.9 Свободно падающее тело за последнюю секунду падения пролетело половину всего пути. Время падения равно:
1) 1,7 с;   2) 3,5 с;   3) 5,2 с;   4) 6,8 с;    5) недостаточно данных для решения задачи

Решение. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, υ_0у = 0, g_y = g. Запишем уравнение для двух моментов времени
 \[ {{y}_{1}}=\frac{h}{2}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,\,{{y}_{2}}=h=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\, \]
Из этих уравнений следует, что
 \[ \frac{2\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot t_{1}^{2}=t_{2}^{2} \]
По условию задачи t₁ = t₂-1. Тогда
 \[ 2\cdot {{\left( {{t}_{2}}-1 \right)}^{2}}=t_{2}^{2};\,\,\,\,\,\,\,\,t_{2}^{2}-4\cdot {{t}_{2}}+2=0 \]
Корни квадратного уравнения (t₂)₁ = 3,4 c (t₂)₂ = 0,6 c
Второй корень не соответствует условию задачи.
Примечание: среди приведенных ответов наиболее близким по значению - 2) 3,5 с;
Ответ: 2) 3,5 с;

[Сергей]

А1.10 Камень падает в ущелье. Через время t = 6,00 с слышен звук удара камня о землю. Если модуль скорости звука υ = 330 м/с, то глубина ущелья составляет:
1) 55,0 м;   2) 110 м;   3)153 м;   4) 242 м;5) 660 м.

Решение. Время t складывается из времени t₁ – падения камня на дно шахты и t₂ – времени распространения звука после удара камня о дно. Для свободно падающего тела справедливо (смотри задачи А1.8 и А1.9)
  \[ h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,{{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\,\,\,\,\,\,(1)  \]
Тогда
 \[ t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}+\frac{h}{\upsilon };\,\,\,\,\,6,00=0,45\cdot \sqrt{h}+0,003\cdot h \]
Решим последнее уравнение. Например
\[ \begin{align}
  & \sqrt{h}=x;\,\,\,\,\,0,003\cdot {{x}^{2}}+0,45\cdot x-6=0; \\
 & {{x}_{1}}=-162,32;\,\,\,\,{{x}_{2}}=12,32; \\
\end{align}
 \]
 Корень х₁ не подходит. Следовательно
 \[ h=x_{2}^{2} \]
h = 151,78 м.
ответ: 3)153 м (152 м)

Примечание: рещение "другим путем"
\[ \begin{align}
  & {{t}_{2}}=\frac{h}{\upsilon };\,\,\,\,\,h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,{{t}_{2}}=t-{{t}_{1}}; \\
 & t-{{t}_{1}}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot \upsilon };\,\,\,\,\,\,g\cdot t_{1}^{2}+2\cdot \upsilon \cdot {{t}_{1}}-2\cdot \upsilon \cdot t=0; \\
 & {{t}_{1}}=5,54;\,\,\,h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=153,45 \\
\end{align}
 \]