2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

[Сергей]

В1.1 Координата материальной точки изменяется по закону х = -4+6t – 0,25t². Модуль скорости точки через время t = 4 с после начала движения равен ... м/с.

Решение. Кинематические уравнения скорости и координаты при равноускоренном движении в проекциях на координатную ось Ох имеют вид:
 \[ \begin{align}
  & \,\,\,\,{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}+{{a}_{x}}\cdot t\,\,\,(1) \\
 & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(2) \\
\end{align}
 \]
Сравнивая уравнение (2) с исходным, легко видеть, что υ_0х = 6 м/с, а_х = -0,5 м/с². Тогда на основании (1)

υ = υ₀ - а·t

Ответ: 4 м/с

[Сергей]

В1.2 Два тела, расстояние между которыми s = 280 м, начинают одновременно двигаться навстречу друг другу: первое из состояния покоя равноускорено с ускорением, модуль которого а = 4 м/с², второе равномерно со скоростью, модуль которой υ = 8 м/с. Тела встретятся через ... с.

Решение. Кинематические уравнения координаты при равноускоренном движении и при равномерном в проекциях на координатную ось Ох имеют вид:
 \[ \begin{align}
  & {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{\upsilon }_{{{01}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(1) \\
 & \,\,\,{{x}_{2}}\,={{x}_{02}}+{{\upsilon }_{x}}\cdot t\,\,\,(2) \\
\end{align}
 \]
Совместим начало координат с точкой начала движения тела, которое движется равноускорено и направим ось Ох в направлении движения этого тела. Тогда в этой системе координат х₀₁ = 0, а_х = а, υ₀₁ = 0, х₀₂ = 280 м, υ_х = -υ. В момент встречи х₁ = х₂.
 \[ \frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}\,={{x}_{02}}-\upsilon \cdot t\,;\,\,\,\,\,\,{{t}^{2}}+4\cdot t-140=0 \]
Корнями данного квадратного уравнения являются t₁ = 10, t₂ = -14.
Ответ: 10 с

[Сергей]

В1.3 Тело, трогаясь с места, через время t = 10 с приобретает скорость, модуль которой υ₁ = 60 см/с. Модуль скорости тела достигнет значения υ₂ =3,0 м/с через интервал времени от начала движения, равный ... с.

Решение. При движении с постоянным ускорением скорость тела в любой момент времени t определяется уравнением
 \[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{a}\cdot t \]
Запишем это уравнение для моментов времени t и t₂
 \[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}=a\cdot t;\,\,\,{{\upsilon }_{2}}=a\cdot {{t}_{2}}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}\cdot t}{{{\upsilon }_{1}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 50 с

[Сергей]

В1.4  Камень, брошенный по льду со скоростью, модуль которой υ₀ = 5 м/с, останавливается на расстоянии s = 25 м от места бросания. Путь, пройденный камнем, за первые t = 2 с движения составляет … м

Решение. Кинематический закон прямолинейного движения с постоянным ускорением выражается формулой
 \[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Учитывая, что при прямолинейном движении ускорение направлено противоположно скорости, если ее модуль убывает и то, что s = х – х₀
 \[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Для нахождения ускорения воспользуемся следующим выражением с учетом того, что конечная скорость υ = 0, а ускорение направлено противоположно скорости
 \[ \begin{align}
  & {{{\vec{\upsilon }}}^{2}}+\vec{\upsilon }_{0}^{2}=2\cdot \vec{a}\cdot s;\,\,\,\,\,\,\,-\upsilon _{0}^{2}=-2\cdot a\cdot s; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot s} \\
\end{align}
 \]
а = 0,5 м/с². Тогда на основании (1), пройденный телом путь за t = 2 с движения составляет 9 м
Ответ: 9 м

[Сергей]

В1.5 Автомобиль движется равноускорено с ускорением, модуль которого а = 1,0 м/с². Мимо наблюдателя он проезжает со скоростью, модуль которой υ = 10,5 м/с. За секунду до этого момента он находился от наблюдателя на расстоянии, равном ... м.

Решение. Пусть υ₀ – скорость, которая была у автомобиля за секунду до встречи с наблюдателем. Тогда из определения ускорения
 \[ a=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{\Delta t};\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\upsilon -a\cdot \Delta t \]
υ₀ = 9,5 м/с.
Для нахождения искомого расстояния воспользуемся следующим соотношением
 \[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2\cdot a\cdot s;\,\,\,\,\,\,\,\,s=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot a} \]
ответ: 10 м

[Сергей]

В1.6 С крыши дома оторвалась сосулька и за время t = 0,20 с пролетела мимо окна высотой h = 1,5 м. Сосулька падала с высоты относительно верхнего края окна, равной ... м.

Решение. Обозначим υ – скорость сосульки у верхнего края окна высотой h. Тогда
 \[ h=\upsilon \cdot t+\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,\,\,\,\upsilon =\frac{h}{t}-\frac{g\cdot t}{2} \]
υ = 6,5 м/с
Полагая, что начальная скорость сосульки υ₀ = 0
 \[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2\cdot g\cdot H;\,\,\,\,\,\,H=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g} \]
ответ: 2,1 м

[Сергей]

В1.7 С воздушного шара, опускающегося вертикально вниз с постоянной скоростью, модуль которой υ = 200 см/с, бросили вертикально вверх камень со скоростью, модуль которой υ₀ = 10,0 м/с относительно земли. Максимальное расстояние между камнем и шаром составит ... см.

Решение. Будем считать воздушный шар неподвижным. Тогда начальная скорость камня υ_ot равна

υ_ot = υ + υ₀

Максимальное расстояние между камнем и шаром будет тогда, когда камень достигнет верхней точки. В этой точке его скорость υ будет равна нулю. С учетом того, что ускорение свободного падения направлено противоположно скорости камня
 \[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{ot}^{2}=-2\cdot g\cdot H;\,\,\,\,\,\,\,H=\frac{\upsilon _{ot}^{2}}{2\cdot g} \]
Ответ: 720 см

[Сергей]

В1.8 Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте h₁ = 1100 м от поверхности земли. Если через промежуток времени t = 10,00 с тело оказалось на высоте h₂ = 120,0 м, то оно падало с высоты ... м.

Решение. Обозначим υ – скорость тела на высоте h₁. Тогда
 \[ {{h}_{1}}-{{h}_{2}}=\Delta h=\upsilon \cdot t+\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,\,\,\,\upsilon =\frac{\Delta h}{t}-\frac{g\cdot t}{2} \]
υ = 48 м/с
Полагая, что начальная скорость тела υ₀ = 0
 \[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2\cdot g\cdot \left( H-{{h}_{1}} \right);\,\,\,\,\,\,H=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g}+{{h}_{1}} \]
ответ: 1215 м

[Сергей]

В1.9 Если тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути пролетело за время t₁ = 1,00 с, а такой же последний за t₂ = 0,500 с, то высота h от поверхности земли, с которой падало тело, составляет ... см.

Решение. Определим путь h₁, которое тело прошло за время t₁. Учитывая, что υ₀ = 0
 \[ {{h}_{1}}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
h₁ = 5 м. По условию задачи h₂ = h₁. Найдем скорость υ которую имело тело в начале последнего участка
 \[ {{h}_{2}}=\upsilon \cdot {{t}_{2}}+\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,\,\,\upsilon =\frac{{{h}_{2}}}{{{t}_{2}}}-\frac{g\cdot {{t}_{2}}}{2} \]
υ = 7,5 м/с. Определим с какой высоты должно было упасть тело, чтобы приобрести такую скорость. Учтем, что υ₀ = 0
 \[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2\cdot g\cdot {{h}^{'}};\,\,\,\,\,\,{{h}^{'}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g} \]
h' = 2,81 м. Тогда общая высота

h = h’ + h₂ = 7,81 м = 781 см.

Получается, что тело падает с высоты меньше 10 м. Первый участок пути и последний перекрываются см. рис

[Сергей]

В1.10 Тело, брошенное вертикально вверх, упало на землю через промежуток времени t = 8,00 с. Путь, пройденный телом за последнюю секунду подъема, равен ... м.

Решение. Учитывая, что время подъема равно времени падения тела, делаем вывод, что время подъема тела составляет 4 с. Тогда путь h, пройденный телом за последнюю секунду, равен разности пути h₄, пройденного за время t₄ = 4с и пути h₃, пройденного за t₃ = 3 с.

h = h₄ – h₃    (1).

Уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot t}{2}\,\, \]
Направим ось Оу вертикально вверх, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, g_y = -g, υ_0у = υ0. Тогда:
 \[ \,{{h}_{4}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{4}}-\frac{g\cdot t_{4}^{2}}{2}\,\,(2);\,\,\,\,\,\,\,\,{{h}_{3}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{3}}-\frac{g\cdot t_{3}^{2}}{2}\,\,(3) \]
Найдем начальную скорость, учитывая, что в верхней точке υ = 0

υ = υ₀ - g·t₄;        υ₀ = g·t₄ = 40 м/c

Подставим значение υ₀ в (2) и (3). h₄ = 80 м; h₃ = 75 м; h = 5 м.
Ответ: 5 м