2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

[Сергей]

А2.1 Два тела движутся согласно законам х₁ = -4,0+ 2,0t +1,0t² (м) и x₂ = 6,0-8,0t + 1,0t² (м). Модуль относительной скорости тел в момент встречи равен:
1) 0;   2) 5,0 м/с;   3) 6,0 м/с;   4) 7,0 м/с;   5) 10 м/с.

Решение. Кинематические уравнения скорости и координаты при равноускоренном движении в проекциях на координатную ос Ох имеют вид:
 \[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}+{{a}_{x}}\cdot t\,\,\,\,\,(1) \\
 & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2}\,\,\,\,(2) \\
\end{align}
 \]
Сравнивая исходные уравнения с уравнением (2), легко видеть, что: х₀₁ = -4,0 м; υ_01х = 2,0 м/с; а_1х = 2 м/с²; х₀₂ = 6,0 м; υ_02х = -8,0 м/с; а_2х = 2 м/с². Проекции скоростей имеют разный знак, следовательно,  тела движутся навстречу друг другу. Относительная скорость при таком движении

υ_ot =υ₁+υ₂

Определим скорость υ₁ движения первого тела и скорость υ₂ второго тела. В момент встречи тел х₁ = х₂. Приравняв два уравнения, получим время встречи t = 1 c. Тогда на основании уравнения (1) модуль скоростей υ₁ = 4 м/с, υ₂ = 6 м/с, υ_ot = 10 м/с
Ответ: 5) 10 м/с

[Сергей]

А2.2 Тело, двигаясь равноускоренно, за время t прошло путь s, причем за это время модуль его скорости увеличился в 5 раз. Модуль ускорения тела равен:
 \[ 1)\,\frac{3\cdot s}{{{t}^{2}}};\,\,\,2)\,\frac{4\cdot s}{3\cdot {{t}^{2}}};\,\,\,3)\,\frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}};\,\,\,4)\,\frac{s}{3\cdot {{t}^{2}}};\,\,5)\,\frac{s}{2\cdot {{t}^{2}}} \]
Решение. Путь s пройденный телом за время t
 \[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Скорость при равноускоренном движении

υ = υ₀ + а·t (2)

По условию задачи υ = 5·υ₀. Тогда с четом (2)
 \[ 5\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+a\cdot t;\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{a\cdot t}{4} \]
Подставим полученное выражение в (1)
\[ s=\frac{a\cdot t}{4}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}=\frac{3\cdot a\cdot {{t}^{2}}}{4};\,\,\,\,\,\,a=\frac{4\cdot s}{3\cdot {{t}^{2}}} \]
 
Ответ: 2

[Сергей]

А2.3 Если при равноускоренном движении тело за первые t₁ = 4,0 с проходит путь s₁ =2,0 м, а следующий участок длиной s₂ = 4,0 м — за t₂ = 5,0 с, то модуль ускорения тела составляет:
1) 3,8 см/с²;   2) 4,2 см/с²;3) 5,4 см/с²;   4) 6,7 см/с²;   5) 7,8 см/с².

Решение. Как следует из условия, путь s₃ = s₁+s₂ тело проходит  за время t₃ = t₁ + t₂
Кинематическое уравнение координаты при равноускоренном движении в проекции на координатную ось:
 \[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2} \]
Направим ось Ох вдоль движения тела, начало координат выберем в точке х₀. Тогда
 \[ {{s}_{1}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2}\,\,(1);\,\,\,\,\,\,\,\,{{s}_{3}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{3}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}\,}{2}\,\,(2) \]
Выразим υ₀, например из (1)
 \[ {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}={{s}_{1}}-\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2};\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}-a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\, \]
Подставим полученное значение в (2)
 \[ \begin{align}
  & {{s}_{3}}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}-a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\cdot {{t}_{3}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}}{2}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}}-a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{3}}}{2\cdot {{t}_{1}}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}}{2}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot {{t}_{1}}\cdot {{s}_{3}}=2\cdot {{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}}-a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{3}}+a\cdot t_{3}^{2}\cdot {{t}_{1}}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a=\frac{2\cdot \left( {{t}_{1}}\cdot {{s}_{3}}-{{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}} \right)}{{{t}_{3}}\cdot {{t}_{1}}\cdot \left( {{t}_{3}}-{{t}_{1}} \right)} \\
\end{align}
 \]
а = 0,067 м/с²
Ответ: 4) 6,7 см/с²;

[Сергей]

А2.4 По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. Если на расстоянии s = 30 см от начала движения шарик побывал дважды через время t₁ = 1,0 и t₂ =2,0с после начала движения, то модуль начальной скорости шарика составляет:
1)10 см/с;   2) 20 см/с;   3) 30 см/с;   4) 45 см/с;   5) 60 см/с.

Решение. Кинематическое уравнение координаты при равноускоренном движении в проекции на координатную ось:
 \[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2} \]
Ось Ох направим вдоль доски, начало координат выберем в точке начала движения (х₀ = 0). В момент времени t₁ и t₂ шарик находится в одной и той же точке, то его координаты в эти моменты времени одинаковы, т.е х₁ = х₂ = s
Запишем уравнения для двух случаев
\[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2}\,\,(1);\,\,\,\,\,\,\,\,s={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{2}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}\,}{2}\,\,(2) \]
 Выразим υ₀, например из (1)
 \[ {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}=s+\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2};\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{2\cdot s+a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\,(3) \]
Подставим полученное значение в (2)
 \[ \begin{align}
  & s=\frac{2\cdot s+a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\cdot {{t}_{2}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}}{2}=\frac{2\cdot s\cdot {{t}_{2}}+a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{2}}}{2\cdot {{t}_{1}}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}}{2}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot {{t}_{1}}\cdot s=2\cdot s\cdot {{t}_{2}}+a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{2}}-a\cdot t_{2}^{2}\cdot {{t}_{1}}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a=\frac{2\cdot s}{{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}} \\
\end{align}
 \]
а = 0,3 м/с²
Тогда из (3) найдем υ₀ = 0,45 м/с
Ответ: 4) 45 см/с;

[Сергей]

А2.5 По графику зависимости модуля скорости υ от времени t (рис. 2.1) определите модуль средней скорости движения на первой половине пути:
1) 2,0 м/с;    2) 1,5 м/с;    3) 1,2 м/с;    4) 1,0 м/с;    5) 0,50 м/с.

Решение. Из графика следует, что на первой половине пути тело двигалось равноускорено. При движении с постоянным ускорением
 \[ \left\langle {{\upsilon }_{x}} \right\rangle =\frac{{{\upsilon }_{0}}_{x}+{{\upsilon }_{x}}}{2} \]
υ_0х = 0; υ_х = 2 м/с;
Ответ: 4) 1,0 м/с; Примечание: ответ пособия 3) 1,2 м/с;

Правильное решение см. здесь.

[Сергей]

А2.6 Свободно падающее тело за последнюю секунду своего падения проходит путь h = 100 м. Время падения тела равно:
1) 0,500 с;   2) 8,00 с;   3) 10,5 с;   4) 11,0 с;   5) 11,5 с.

Решение. Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, υ_0у = 0, g_y = g. Тогда  уравнение выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
 \[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Обозначим t₁ – время падения тела, t₂ = 1 с по условию. В момент времени t₁ – t₂ координата тела будет равна
 \[ H-h=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}^{2}}}{2}\,\,\,(2) \]
Когда тело упадет на землю, у = Н. Согласно (1)
\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
Подставим это уравнение в (2)
 \[ \begin{align}
  & \frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}-h=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}^{2}}}{2}\,; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\frac{{{t}_{2}}}{2}+\frac{h}{g\cdot {{t}_{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 3) 10,5 с

[Сергей]

А2.7 С каким модулем начальной скорости нужно бросить вертикально вниз тело с высоты h = 20,0 м, чтобы оно упало на Δt = 1,00 с раньше, чем тело, свободно падающее с той же высоты?
1)9,80 м/с;   2)10,6 м/с;   3) 12,4 м/с;   4) 14,2 м/с;5)   15,0   м/с.

Решение. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, g_y = g и для свободно падающего тела υ_0у = 0. Пусть t₁ – время свободного падения, t₂ – время падения тела брошенного с начальной скоростью. В момент падения тела y = h. Запишем уравнения для двух случаев:
 \[ h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}\,\,\,\,(1);\,\,\,\,\,h={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{2}}+\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}\,\,\,(2) \]
По условию задачи t₂ = t₁ – Δt. Из (1)
 \[ {{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}} \]
t₁ = 2 с, тогда t₂ = 1с. Выразим υ₀ из (2)
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{h}{{{t}_{2}}}-\frac{g\cdot {{t}_{2}}}{2} \]
Ответ: 5) 15,0 м/с.

[Сергей]

А2.8 Тело свободно падает с высоты h = 125 м. Модуль средней скорости тела на нижней половине пути равен:
1)11,5 м/с;   2) 17,9 м/с;   3) 25,0 м/с;   4) 35,7 м/с;   5) 42,7 м/с.

Решение. Среднюю скорость пути можно найти как отношение пройденного пути. Поскольку нам надо определить среднюю скорость во второй половине пути, то
 \[ \left\langle \upsilon  \right\rangle =\frac{h}{2\cdot t}\,\,(1) \]
Где t – время движения на второй половине пути. Если t₂ – общее время падения и t₁ – время падения на первой половине пути то t = t₂ – t₁
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, υ_0у = 0, g_y = g. Тогда  уравнение выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
 \[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
В момент падения y = h, на половине пути y=h/2. Тогда
 \[ \begin{align}
  & {{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}};\,\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\sqrt{\frac{h}{g}}; \\
 & t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}-\sqrt{\frac{h}{g}}; \\
\end{align}
 \]
Тогда на основании (1)
 \[ \left\langle \upsilon  \right\rangle =\frac{h}{2\left( \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}-\sqrt{\frac{h}{g}} \right)} \]
<υ> = 42,8 м/с
Ответ: 5) 42,7 м/с

[Сергей]

А2.9 Если свободно падающее тело последнее расстояние h = 200 м про-летело за время t = 4,00 с, то тело падало с высоты:
1) 245 м;   2) 322 м   3) 382 м;    4) 490 м;   5) 788 м.

Решение.    Смотри задачу А2.6.
\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\frac{{{t}_{2}}}{2}+\frac{h}{g\cdot {{t}_{2}}} \]

Ответ: 1) 245 м;

[Сергей]

А2.10 Парашютист, спускающийся с постоянной скоростью, модуль которой υ = 500 см /с, находясь на высоте h = 100 м, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью, модуль которой υ0 = 10,0 м/с относительно парашютиста. Интервал времени между падением тела и приземлением парашютиста составит:
1)14.4 с;    2) 16,8 с;   3) 20 с;    4) 24,2 с;    5) 32,4 с.

Решение. Интервал времени между падением тела и приземлением парашютиста

Δt = t₂ – t₁

Где t₂ – время движения парашютиста, t₁ – время падения тела.
Парашютист спускается с постоянной по модулю скоростью с высоты h, тогда
 \[ {{t}_{2}}=\frac{h}{\upsilon } \]
Рассмотрим падение тела. Уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
 \[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot t}{2}\,\, \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, g_y = g, υ_0у = υ_ot. Где  υ_ot – скорость движения тела относительно Земли.

υ_ot = υ+υ₀

В момент падения тела y = h. Тогда:
 \[ \,h={{\upsilon }_{ot}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
Решим это уравнение и получим только один корень, удовлетворяющий условию – t₁ = 3,22 с.
Δt = t₂ – t₁ = 16,8 с
Ответ: 2) 16,8 с;