2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

[Alecs]

В2.6  За последній промежуток времени t=2,0 c свободного падения тело пролетело расстояние h=60 м. Полное время падениия тела составило … с.
Решение. На последнем участке пути 2-3 тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Тогда
\[ h=\upsilon \cdot t+\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}, \]
 где  υ  - начальная скорость на участке  2-3.
\[ \upsilon =\frac{h}{g\cdot t}-\frac{t}{2}; \]

υ=20м/с.

Полагая, что начальная скорость на участке 1-2 υ₀ = 0.
\[ \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{1}}, \]
где t₁-время прохождения первого участка.
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{g}; \]

t₁=2c.

Полное время падения

t=t₁+t₂;
t=2c+2c=4c.

Ответ: 4 с.

[Сергей]

В2.1 Проекция скорости движения материальной точки υ_х на ось х изменяется со временем t согласно приведенному графику (рис. 2.2). Сумма пути и модуля перемещения точки через t = 4,0 с после начала движения составляет... м.

Решение. Площадь фигуры под графиком проекции скорости υх и осью времени численно равна модулю перемещения. Тогда пройденный путь численно равен площади трех прямоугольных треугольников r_1х, r_2х, r_3х
 \[ s=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 1=20 \]
Из графика следует, что через одну секунду после начала движения, материальная точка изменила направление движения. Тогда модуль перемещения материальной точки
\[  \left| {{r}_{x}} \right|=\left| {{r}_{1x}}-\left( {{r}_{2x}}+{{r}_{3x}} \right) \right|=10 \]
Следовательно, сумма пути и модуля перемещения точки через t = 4,0 с после начала движения составляет 30 м
ответ: 30 м

[Сергей]

В2.2 Координата х материальной точки изменяется по закону х = -2,0+6,0t-0,25t² (м). Модуль средней скорости движения точки за первые t = 10 с движения равен … м/с

Решение. Средняя скорость пути – скалярная физическая величина, численно равная отношению пройденного пути ко времени, за который этот путь пройден.
 \[ \left\langle \upsilon  \right\rangle =\frac{S}{t}\,\,(1) \]
Определим координату материальной точки через время t = 10 с
х = -2,0+6,0·t-0,25·t² = -2,0+6,0·10-0,25·10² = 33 м. Тогда пройденный путь – S = х – х₀ = 33-(-2) = 35 м. Подставим значение S в (1).
Ответ: 3,5 м/с

[Сергей]

В2.3 Пассажир, стоявший у начала третьего вагона электрички, определил, что начавший двигаться вагон прошел мимо него за промежуток времени t₁ = 5,0 с, а вся электричка — за t = 15,8с. Число вагонов электрички составляет ....

Решение. Пусть l – длина одного вагона, а n – количество всех вагонов. Кинематическое уравнение координаты при равноускоренном движении в проекциях на координатную ось Ох имеет вид
 \[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\, \]
Совместим начало координат с пассажиром и направим ось Ох в направлении движения поезда. Тогда в этой системе координат х₀ = 0, а_х = а, υ₀ = 0. В момент времени t₁, координата х = l, в момент времени t – (n-2)·l. Запишем уравнения
 \[ l=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2}\,\,(1);\,\,\,\,\,\,\left( n-2 \right)\cdot l=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(2) \]
Разделим второе уравнение на первое
 \[ n=\frac{{{t}^{2}}}{t_{1}^{2}}+2 \]
Ответ: 12

[Сергей]

В2.4 Тело, двигаясь из состояния покоя, за десятую секунду проходит путь s = 38 м. За двенадцатую секунду движения тело пройдет путь... м.

Решение. Путь S(n), пройденный телом за n – ю секунду, равен пути S_n, пройденному телом за n секунд минус путь S_n-1, пройденный автомобилем за (n-1) секунду
 \[ S(n)={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=\frac{a\cdot {{n}^{2}}}{2}-\frac{a\cdot {{\left( n-1 \right)}^{2}}}{2}=\frac{a\cdot \left( 2\cdot n-1 \right)}{2}\,\,(1) \]
По условию задачи n = 10, S(10) = 38 м. Тогда используя (1) определим ускорение тела.
\[ a=\frac{2\cdot S(n)}{2\cdot n-1}=4 \]
Теперь можем найти путь S(12) пройденный за двенадцатую секунду движения
 \[ S(12)=\frac{4\cdot \left( 2\cdot 12-1 \right)}{2}=46 \]
Ответ: 46 м

[Сергей]

В2.5 Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя не который путь, приобрело модуль скорости υ = 7 м/с. Модуль скорости тела на середине этого пути был равен ... м/с.

Решение. При равноускоренном движении перемещение Δr_x можно рассчитать по формуле
 \[ \Delta {{r}_{x}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2} \]
С учетом того, что υ₀ = 0, а Δr_x = s
 \[ s=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot a};\,\,\,\,\,\frac{s}{2}=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot a}; \]
Решим уравнения, например, разделим первое уравнение на второе
 \[ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}} \]
Ответ: 5 м/с

[strong]

Когда будет решение номеров В2.7, В2.8, В2.9, В2.10 ?

[Сергей]

Когда будет решение номеров В2.7, В2.8, В2.9, В2.10 ?

Вы можете заказать решение интересующей вас задачи например здесь

[Alecs]

В2,7 В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него за t₁=6 c прошел предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо пассажира за время t₂=4 c. Если поезд движется равноускоренно, то пассажир опоздал к его отходу на время … с.

Решение. Пусть υ – модуль скорости предпоследнего вагона в момент, когда пассажир выбежал на перрон.
a – ускорение поезда.

υ = υ₀+a∙Δt,

где Δt – время, на которое пассажир опоздал к отходу поезда.
Начальная скорость поезда
υ₀=0, тогда

υ = a∙Δt,

Δt = υ/а. (1)

Кинематический закон движения последнего и предпоследнего вагона таков:
\[ l=\upsilon \cdot t_{1} +\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} \,  ;(2) \]
 
 \[ 2l=\upsilon \cdot \left(t_{1} +t_{2} \right)+\frac{a\cdot \left(t_{1} +t_{2} \right)^{2} }{2} . (3)  \]
Подставим (2) в (3) и выразим υ/а = Δt.
\[  \Delta t=\frac{\left(t{}_{1} +t_{2} \right)^{2} -2\cdot t_{1} }{2\left(t_{1} -t_{2} \right)} . \]
Δt = 7 с.
Ответ: 7 с.

[Alecs]

В2,8 Мячик, отскочивший от поверхности Земли вертикально вверх со скоростью, модуль которой 10 м/с, пролетел мимо окна высотой 1,5 м за 0,2 с. Высота, относительно земли, на которой расположен подоконник, составляет … м

Решение.
На участке 2-3 тело движется равнозамедленно с ускорением g. Зависимость пути от времени для данного движения примет вид:
 \[  
h=\upsilon \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,
 \]
 \[ \upsilon =\frac{h}{t} +\frac{g\cdot t}{2} , \]
где υ – конечная скорость на участке 1-2 и начальная скорость на участке 2-3.
υ = 8,5 м/с.
Для участка 1-2 запишем формулу «квадраты скоростей» :

- 2⋅g⋅H = υ² – υ₀² ;

\[ H=\frac{\upsilon _{0}^{2} -\upsilon ^{2} }{2\cdot g} ; \]
H=1,4 м.
Ответ: 1,4 м.