А1.6 Чтобы дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, была вдвое больше его максимальной высоты подъема, тело необходимо бросить под углом:
1) 45°; 2) 48°; 3) 54°; 4) 58°; 5) 63°
Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тела. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох вертикально в сторону, куда брошено тело. В этой системе координат движение тела представляет собой результат сложения равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси Оу. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ0х = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, ax = 0, ay = -g. Зависимости проекций скорости и координаты от времени выразятся уравнениями
\[ \begin{align}
& \,\,\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \,\,(1);\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t\,\,(2); \\
& x=\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \right)\cdot t\,\,(3);\,\,\,\,\,y=\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \right)\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(4) \\
\end{align}
\]
В момент падения тела у= 0. Тогда на основании (4) найдем время полета
\[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Найдем дальность полета из уравнения (3), подставив в него уравнение для времени полета. Учтем, что в момент падения х = s
\[ s=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}\,\,\,(5) \]
Время подъема t1 до максимальной высоты найдем из (2), учитывая, что в верхней точке υ0у = 0 и подставим его в уравнение (4)
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g};\,\,\,\,H=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
По условию задачи s = 2H. Тогда
\[ \begin{align}
& \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}=\frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g}; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin 2\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha ; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,tg\alpha =2 \\
\end{align}
\]
Ответ: 5) 63°
