3. Движение по окружности. Криволинейное движение

[Сергей]

А2.10 Тело брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью, модуль которой υ₀ = 40м/с. Время, через которое тело поднимется на половину максимальной высоты, составляет:
1) 0,20 с;   2) 0,60 с;   3) 1,0 с;   4) 2,0 с;    5) 4,0 с.

Решение. Максимальная высота подъема h_max равна (смотри задачу А1.6)
 \[ {{h}_{\max }}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
h_max=20 м.
Вдоль оси Оу тело движется равноускорено. Координата тела на высоте h, равной половине максимальной высоты
 \[ y=h={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Решим квадратное полученное квадратное уравнение
\[  {{t}_{12}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \pm \sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha -2\cdot g\cdot h}}{g} \]
На этой высоте тело побывает дважды: при подъеме t₁= 0,6 с и спуске t₂=3,4 с
Ответ: 2) 0,60 с

[Сергей]

В1.1 Два тела начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела Т₁ = 1,0 с, второго — Т₂ = 3,0 с. Первое тело догонит второе через промежуток времени, равный ... с.

Решение. Будем считать, что второе тело неподвижно. Так как тела движутся в одном направлении, то скорость υ₁₂ первого тела относительно второго равна

υ₁₂ = │υ₁ – υ₂│

За время t первое тело пройдет путь l и встретится с неподвижным вторым телом. Следовательно
 \[ t=\frac{l}{\left| {{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}} \right|}=\frac{l}{\left| \frac{l}{{{T}_{1}}}-\frac{l}{{{T}_{2}}} \right|}=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{\left| {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right|} \]
Ответ: 1,5 с

[Сергей]

В1.2 Пуля попадает во вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой ν = 100 Гц тонкостенный цилиндр диаметром d = 400 см. Чтобы, пробив цилиндр, пуля оставила в нем одно отверстие, она должна лететь вдоль диаметра цилиндра с максимальной скоростью, модуль которой ... м/с.

Решение. Скорость пули
 \[ \upsilon =\frac{d}{t} \]
где t время, за которое цилиндр совершит половину оборота, т.е. половине периода Т. Тогда
 \[ \upsilon =\frac{d}{t}=\frac{d}{\frac{T}{2}}=\frac{d}{\frac{1}{2\cdot \nu }}=2\cdot d\cdot \nu  \]
Ответ: 800 м/с

[Сергей]

В1.3 Автомобиль проходит середину выпуклого моста радиусом R = 90 м. Чтобы модуль центростремительного ускорения равнялся модулю ускорения свободного падения, модуль скорости автомобиля должен быть равен ... м/с.

Решение. Модуль центростремительного ускорения
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \]
По условию а = g. Тогда
 \[ \upsilon =\sqrt{a\cdot R}=\sqrt{g\cdot R} \]
Ответ: 30 м/с

[Сергей]

В1.4 Колесо велосипеда имеет радиус R = 40 см. Если колесо совершает п= 100 об/мин, то модуль скорости велосипедиста равен ... км/ч.

Решение. Модуль скорости велосипеда равен модулю скорости точек обода колеса смотри задачу А2.8 равномерное движение). Модуль скорости точек обода колеса

υ = 2·π·R·ν = 4,19 м/с

ответ: 15 км/ч

[Сергей]

В1.5 Колесо радиусом R = 0,5 м катится без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью, модуль которой υ = 1 м/с. Разность модулей скоростей двух точек, лежащих на концах горизонтального диаметра колеса, равна ... м/с.

Решение. Модули линейных скоростей всех точек,  находящихся на одном расстоянии от оси равны по модулю. Следовательно, разность их модулей равна нулю
Ответ: 0

[Сергей]

В1.6 Камень брошен с поверхности земли со скоростью, модуль которой υ₀ =20 м/с, под углом α = 60° к горизонту. Наименьшее время, через которое вектор скорости камня будет направлен под углом β = 45° к горизонту, составляет   ... мс.

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тела. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох вертикально в сторону, куда брошено тело. В этой системе координат движение тела представляет собой результат сложения равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси Оу. Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα, υ_0y = υ₀·sinα, a_x = 0, a_y = -g. Зависимости проекций скорости от времени выразится уравнениями
 \[ {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ;\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t;\,\,(1) \]
Из геометрических соображений
 \[ tg\beta =\frac{{{\upsilon }_{y}}}{{{\upsilon }_{x}}} \]
По условию задачи β = 45°, tgβ = 1, υ_x = υ_y. Тогда на основании (1)
 \[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t; \\
 & \,\,\,\,\,t=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \left( \sin \alpha -\cos \alpha  \right)}{g} \\
\end{align}
 \]
ответ: 730 мс

[Сергей]

В1.7 Горизонтально летящая в начальный момент времени пуля пробивает последовательно два вертикальных листа бумаги, расположенные на расстоянии l = 3,00 м друг от друга. Если пробоина на втором листе оказалась на h = 2,00 мм ниже, чем на первом, то модуль скорости пули был равен ... м/с.

Решение. Точку, из которой вылетела пуля, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение пули можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:

x = υ₀·t;  y = g·t²/2

Когда пуля пробивает второй лист x = l, y = h
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{l}{t}=\frac{l}{\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}}=\frac{l\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2\cdot h}} \]
Ответ: 150 м/с Примечание: ответ в сборнике 1500

[Сергей]

В1.8 Тело, брошенное горизонтально с высоты h = 80 м, упало на землю на расстоянии l =60м по горизонтали. Модуль перемещения тела за время, в течение которого модуль его скорости увеличился в п = 2 раза, составляет... м.

Решение. Точку, из которой бросили тело, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат и проекций скоростей от времени, запишутся так:

x = υ₀·t;  y = g·t²/2
υ_х = υ₀; υ_у = g·t

Когда  тело упадет x = l, y = h
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{l}{t}=\frac{l}{\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}}=\frac{l\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2\cdot h}} \]
В момент времени t₁, когда υ = 2·υ₀, х = l₁, у = h₁
 \[ r=\sqrt{l_{1}^{2}+h_{1}^{2}}=\sqrt{{{\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}^{2}}\cdot g}{2\cdot h}\cdot t_{1}^{2}+\frac{{{g}^{2}}}{4}\cdot t_{1}^{4}}\,\,\,(1) \]
Найдем время t₁, учтем, что в этот момент времени υ = 2·υ₀
  \[  {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}=\upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot t_{1}^{2};\,\,\,\,\,t_{1}^{2}=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{{{g}^{2}}}=\frac{3\cdot \upsilon _{0}^{2}}{{{g}^{2}}}=\frac{3\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot h\cdot g} \]
Тогда из (1) перемещение
 \[ r=\frac{{{l}^{2}}}{2\cdot h}\cdot \sqrt{3+\frac{9}{4}} \]
Ответ: 52 м

[Сергей]

В1.9 Мальчик бросает в стену мяч со скоростью, модуль которой υ₀ =10 м/с, под углом α = 45° к горизонту, стоя на расстоянии l = 4,0 м от стены. Удар мяча о стену упругий. Чтобы затем поймать отскочивший мяч, мальчик должен встать от стены на расстоянии... м.

Решение. Совместим начало координат c точкой О. Ось Ох направим горизонтально, а Оу вертикально вверх. Вдоль оси Ох мяч движется равномерно, со скоростью υ_0х и равноускорено вдоль оси Оу с начальной скоростью υ_0у и ускорением g. Выпишем начальные условия: х₀ = -l, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα, υ_0y = υ₀·sinα, а_х = 0, а_у = -g.
Координаты тела в момент времени t
 \[ x=-l+{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
В момент падения мяча x = -L, y = 0
 \[ -L=-l+{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,\,0={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Выразим из второго уравнения t и подставим в первое
 \[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g};\,\,\,\,\,\,L=l-{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}=l-\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g} \]
L = -6 м. Мальчик должен встать от стены на расстоянии 6 м.
Ответ: 6 м