3. Движение по окружности. Криволинейное движение

[Сергей]

В1.10 Два тела одновременно брошены из одной точки. Модуль начальной скорости первого тела υ₀₁ = 10м/с и направлен вертикально вверх, второго — υ₀₂ = 20 м/с и направлен под углом α = 30° к горизонту. Через промежуток времени t = 1,0с после начала движения расстояние между телами составит ... м.

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тел. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох горизонтально, куда брошено второе тело. За начало отсчета примем момент броска. Первое тело движется равноускорено вдоль оси Оу. В момент времени t, его координата h₁ будет равна
 \[ {{h}_{1}}={{\upsilon }_{01}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Второе тело движется вдоль оси Ох равномерно и вдоль оси Оу равноускорено. В момент времени t его координаты
 \[ l={{\upsilon }_{02}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,{{h}_{2}}={{\upsilon }_{02}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что
 \[ S=\sqrt{{{l}^{2}}+{{\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right)}^{2}}} \]
Если заметить, что υ₀₂·sinα = υ₀₁, то h₁ = h₂ и можно сразу записать

S = l = υ₀₂·cosα·t

Ответ: 17 м

[Сергей]

В2.1 Две точки с постоянными по модулю скоростями движутся по ок-ружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один оборот за время Т₁ =3,0 с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за Т₂ = 1,0 с. Время между двумя последовательными встречами точек составляет ... с.

Решение. Будем считать, что первое тело неподвижно. Так как тела движутся навстречу друг другу, то скорость υ₁₂ второго тела относительно первого равна

υ₁₂ = υ₁ + υ₂

За время t второе тело пройдет путь l и встретится с неподвижным первым телом. Следовательно
 \[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}=\frac{l}{\frac{l}{{{T}_{1}}}+\frac{l}{{{T}_{2}}}}=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+{{T}_{2}}} \]
Ответ: 0,75 с

[Сергей]

В2.2 Цилиндр радиусом R = 100 мм зажат между рейками, движущимися без проскальзывания со скоростями, модули которых υ₁ = 120 мм/с и υ₂ = 80,0 мм/с. Скорости направлены параллельно рейкам (рис. 3.4). Угловая скорость вращения цилиндра равна ... рад/с.

Решение приведенное в сборнике
Проекция скорости точки А на ось х

υ₁ = υ_пост + ω·R

где υпост – модуль поступательной скорости цилиндра (рис 2). Проекция скорости точки В на ось х:

-υ₁ = υ_пост - ω·R

Отсюда
 \[ \omega =\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot R} \]
Ответ: 1

[Сергей]

В2.3 Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью υ = 15 м/с. Вектор скорости изменяет направлении на угол α = 60°за время t = 3,0 с. Модуль центростремительного ускорения точки равен ... м/с².

Решение. Модуль центростремительного ускорения
\[  a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\,\, \]
Линейная и угловая скорости связаны следующим соотношением

υ = ω·R

При движении по окружности, скорость изменяется по направлению и направлена по касательной к траектории движения. Тогда
 \[ \omega =\frac{\varphi }{t}=\frac{\pi }{3\cdot t} \]
Выразим из второго уравнения радиус R и подставим в первое
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\frac{\upsilon }{\omega }}=\upsilon \cdot \omega =\frac{\upsilon \cdot \pi }{3\cdot t} \]
ответ: 5,2 м/с²

[Сергей]

В2.4 Диск радиусом R = 2,0 м равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно к поверхности диска. Максимальное расстояние, на котором могут быть расположены друг от друга две точки диска, если отношение модулей их линейных скоростей п = 2, составляет ... м.

Решение. Отношение модулей линейных скоростей
\[ \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{\omega \cdot {{R}_{1}}}{\omega \cdot {{R}_{2}}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2 \]
Если первая точка выбрана, то вторая находится на противоположной половине диаметра. Расстояние между точками

L = R₁ + R₂ = 1,5·R₁

Выберем положение первой точки на краю диска. Тогда

R₁ = R; L_max = 1,5·R

ответ: 3 м

[Сергей]

В2.5 По окружности радиусом R = 2,0 м одновременно движутся две точки так, что законы их движения имеют вид: φ₁ = 2,0+ 2,0t и φ₂ = -3,0-4,0·t (рад). Модуль относительной скорости точек в момент их встречи равен ... м/с.

Решение. Модули линейных скоростей точек равны

υ₁ = ω₁·R, υ₂ = ω₂·R

и направлены противоположно. Модуль их относительной скорости

│υ_ot│=│υ₁│+│υ₂│

Угловая скорость – это первая производная от φ, т.е.
 \[ \varphi _{1}^{'}={{\omega }_{1}}=2;\,\,\,\varphi _{2}^{'}={{\omega }_{2}}=-4 \]
Ответ: 12 м/с

[Сергей]

В2.6 Тело, брошенное горизонтально со скоростью, модуль которой υ₀ =5,0 м/с, с высоты h = 5,0 м, за время своего падения совершит перемещение, модуль которого ... м.

Решение. Точку, из которой брошено тело, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:

x = υ₀·t;  y = g·t²/2

В момент падения тела x= l, y = h. Тогда
\[ \Delta r=\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{t}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{h\cdot \left( \frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}}{g}+h \right)} \]
ответ: 7,1 м

[Сергей]

В2.7 Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол α = 45° с горизонтом. Если камень упал на склон на расстоянии l = 50 м от точки бросания, то модуль его начальной скорости составляет ... м/с.

Решение.  В выбранной системе координат υ_0х = υ₀·cosα, υ_0y = υ₀·sinα, υ_0х = g_x = g·sinα, g_y = -g·cosα
Уравнения движения в проекциях на оси координат
\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t+\frac{g\cdot \sin \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot \cos \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align} \]
В момент падения камня у = 0, x = l. Вы разим из второго уравнения время t

\[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g\cdot \cos \alpha }=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g}\cdot tg\alpha  \]
С учетом этого найдем υ₀ из первого уравнения
\[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{g\cdot l}{2\cdot \left( \cos \alpha \cdot tg\alpha +\sin \alpha \cdot t{{g}^{2}}\alpha  \right)}} \]
Ответ: 13 м/с

[Сергей]

В2.8 Мячик бросили с некоторой высоты h под углом α = 30° к горизонту. Чтобы мячик достиг максимальной высоты над поверхностью земли, равной 2h, и упал на землю через время t = 4,0 с после броска, модуль его начальной скорости должен составить ... м/с.

Решение. В точке А проекция скорости на ось Оу

υ₀ = υ₀·sinα -g·t₁ = 0

Определим время t₁, за которое мячик достигнет высоты h
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Высота подъема
\[ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g}\,\,\,(1) \]
Теперь рассмотрим движение мячика с высоты 2h.
\[ 2\cdot h=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \]
Общее время движения t и начальная скорость υ₀
\[ \begin{align}
  & t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}+\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \\
 & \,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot \left( t-\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \right)}{\sin \alpha } \\
\end{align} \]
С учетом (1)
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot t}{\left( \sqrt{2}+1 \right)\cdot \sin \alpha } \]
Ответ: 33 м/с

[Сергей]

В2.9 Два шара выброшены одновременно из одной точки с некоторой высоты со скоростями υ₀₁ = υ₀₂ = 10 м/с, которые направлены под углом α = 120° друг к другу. Расстояние между шарами через время t = 2,0 с после начала движения составит ... м.

Решение. Вдоль оси Ох движение тел равномерное, вдоль оси Оу – равноускоренное.  Тогда
\[ x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot t;\,\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что α₀ = 30°, Скорости тел равны по условию, тогда искомое расстояние S = 2·l
В момент времени t координата х = l

S = 2·(υ₀·cosα₀·t)

Ответ: 35 м

Замечания к задаче см. здесь. и здесь.