Репетиционное тестирование 2 этап 2013/2014

[Виктор]

В11, вариант 2.
Мощность, потребляемая резистором, включённым в цепь переменного тока, P  = 10 Вт. Если сопротивление резистора R = 5 Ом, то амплитудное значение силы тока I₀ в цепи равно … А.
Решение: для активного сопротивления R, включённого в цепь переменного тока, среднее значение мощности равно:
\[ P=\frac{I_{0}^{2} \cdot R}{2}. \]
Таким образом, амплитудное значение силы тока
\[ I_{0} =\sqrt{\frac{2\cdot P}{R}}. \]
Ответ: 2 А.

[Виктор]

В10. Вариант 2.
Участок цепи состоит из четырёх резисторов (см. рис.), подключённых к источнику постоянного тока с ЭДС Е = 20 В и внутренним сопротивлением r = 20 Ом. Сопротивления резисторов R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₄ = 40 Ом. Если на резисторе R₁ выделяется мощность P₁ = 1,6 Вт, то сопротивление резистора R₃ равно … Ом.
Решение: пусть ток в первом резисторе I₁, в четвёртом I₄. Зная мощность в первом резисторе, найдём ток
\[ P=I_{1}^{2} \cdot R_{1} ,I_{1} =\sqrt{\frac{P}{R_{1}}}. \]
Напряжение на первом и четвёртом резисторах одинаковое (соединены параллельно), тогда найдём ток I₄:
\[ I_{1} \cdot R_{1} =U_{14} =I_{4} \cdot R_{4} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }I_{4} =\frac{I_{1} \cdot R_{1}}{R_{4}}. \]
Рассчитаем токи и найдём общий ток в цепи  I = I₁ + I₄ (ввиду громоздкости дальнейших вычислений задачу выгоднее решать по действиям)

I₁ = 0,4 А, I₄ = 0,1 А, I = 0,5 А.

Воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи
\[ I=\frac{E}{R+r} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }R=\frac{E}{I} -r, \]
здесь R – полное сопротивление цепи. После подстановки: R = 20 Ом.
С другой стороны, определим R, зная каким образом соединены резисторы
\[ R=\left(\frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{R_{4} } \right)^{-1} +\left(\frac{1}{R_{2} } +\frac{1}{R_{3} } \right)^{-1}. \]
Далее для удобства, подставим численные значения
\[ \begin{array}{l} {20=\left(\frac{1}{10} +\frac{1}{40} \right)^{-1} +\left(\frac{1}{20} +\frac{1}{R_{3} } \right)^{-1} ,{\rm \; \; \; \; \; }\left(\frac{1}{20} +\frac{1}{R_{3} } \right)^{-1} =12,} \\ {\frac{1}{20} +\frac{1}{R_{3} } =\frac{1}{12} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{R_{3} } =\frac{1}{30} ,} \\ {R_{3} =30} \end{array} \]
Ответ: 30 Ом.

[Виктор]

В9. Вариант 2.
Протон (q/m = 1,0∙10⁸ Кл/кг), движущейся со скоростью, модуль которой υ₀ = 80 км/с, влетает в однородное электростатическое поле в направлении, противоположном силовым линиям этого поля. Если протон остановится через промежуток времени Δt = 40 мкс, то модуль напряжённости E электростатического поля равен …В/м.
Решение: со стороны электростатического поля на протон действует сила F =q∙E , которая сообщает ему ускорение a (ускорение направлено против скорости). Запишем второй закон Ньютона, и кинематический закон зависимости скорости от времени.
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=m\cdot a,} \\ {\upsilon =\upsilon _{0} -a\cdot t.} \end{array} \]
Если в уравнение скорости подставить Δt то конечная скорость υ = 0, тогда
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{\upsilon _{0} }{\Delta t},} \\ {E=\frac{m}{q} \cdot \frac{\upsilon _{0} }{\Delta t}.} \end{array} \]
Ответ: 20 В/м.

[Виктор]

В8. Вариант 2.
Две когерентные электромагнитные волны частотой ν = 2,5 ∙ 10¹⁴ Гц, распространяющиеся в однородной среде, абсолютный показатель преломления которой n = 1,8, образуют интерференционный максимум. Если геометрическая разность хода волн δ = 2 мкм, то порядок m максимума равен…
Решение: условие максимума интерференции – разность хода равна чётному числу полуволн
   \[ \delta =2m\cdot \frac{\lambda }{2},  \]
здесь λ – длина волны в однородной среде с показателем преломления n.
\[ \begin{array}{l} {\lambda =\frac{\upsilon }{\nu } ,{\rm \; \; \; }n=\frac{c}{\upsilon },} \\ {\lambda =\frac{c}{n\cdot \nu },} \end{array} \]
здесь с = 3 ∙ 10⁸ м/с – скорость электромагнитных волн в вакууме. Тогда
\[ m=\frac{\delta }{\lambda } =\frac{\delta \cdot n\cdot \nu }{c}. \]
Ответ: 3.

[Виктор]

В6. Вариант 2.
В теплоизолированный сосуд, теплоёмкостью которого можно пренебречь, содержащий воду (с = 4,2 кДж/(кг∙ºС))  массой  m₁ = 2,0 кг при температуре t₁, впустили водяной пар (L = 2,26 МДж/кг) массой  m₂ = 90 г при температуре t₂ = 100ºС. Если после установления теплового равновесия температура воды в сосуде стала t₃ = 60ºС, то начальная температура t₁ воды была равна …ºС.
Решение: происходит теплообмен. При этом водяной пар конденсируется (он находится при температуре 100ºС) и получившаяся из него вода остывает. Количество теплоты, выделившееся при конденсации пара и остывании воды, будет равно
\[ Q_{1} =-L\cdot m_{2} +c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right). \]
Вода в сосуде будет нагреваться, получив при этом количество теплоты
\[ Q_{2} =c\cdot m_{1} \cdot \left(t_{3} -t_{1} \right). \]
Запишем уравнение теплового баланса
\[ \begin{array}{l} {Q_{1} +Q_{2} =0,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }-L\cdot m_{2} +c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right)+c\cdot m_{1} \cdot \left(t_{3} -t_{1} \right)=0,} \\ {c\cdot m_{1} \cdot \left(t_{1} -t_{3} \right)=-L\cdot m_{2} +c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right),} \\ {t_{1} =\frac{-L\cdot m_{2} +c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right)}{c\cdot m_{1}} +t_{3}.} \end{array} \]
Ответ: 34ºС

[Виктор]

В5. Вариант 2.
В баллон, содержащий азот (M₁ = 28 г/моль) под давлением p₁ = 0,10 МПа, добавили m₂ = 9,0 г гелия (M₂ = 4,0 г/моль), после чего в баллоне установилось давление p₀ = 0,24 МПа. Если температура газа в баллоне не изменилась, то масса m₁ азота равна …г.
Решение: пусть объём сосуда V, температура газа T. Давление p₂ гелия равно разности давлений смеси газов и азота (p₂ = p₀ – p₁). Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для данных газов
\[ \begin{array}{l} {p_{1} \cdot V=\frac{m_{1} }{M_{1} } \cdot R\cdot T,} \\ {\left(p_{0} -p_{1} \right)\cdot V=\frac{m_{2} }{M_{2} } \cdot R\cdot T.} \end{array} \]
Разделив уравнения, выразим массу азота
\[ \begin{array}{l} {\frac{p_{1} }{\left(p_{0} -p_{1} \right)} =\frac{m_{1} \cdot M_{2} }{M_{1} \cdot m_{2} } ,} \\ {m_{1} =m_{2} \cdot \frac{p_{1} \cdot M_{1} }{\left(p_{0} -p_{1} \right)\cdot M_{2} } .} \end{array} \]
Ответ: 45 г.

[Виктор]

В4. Вариант 2.
Мяч массой m = 0,40 кг бросают вертикально вниз с некоторой начальной скоростью с высоты h = 1,0 м. После второго удара о горизонтальный пол мяч поднимается на первоначальную высоту h. Если после каждого удара о пол модуль скорости мяча уменьшается в два раза, то при его броске была совершена работа A, равная … Дж.
Решение: работа, совершённая при броске равна начальной кинетической энергии мяча. Пусть начальная скорость мяча υ₀, тогда совершённая работа будет равна
\[ A=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}. \]
Остаётся найти начальную скорость мяча. Во время движения мяча потери энергии нет. Потери происходят в момент удара. Воспользуемся законом сохранения механической энергии: в момент броска у мяча есть кинетическая и потенциальная энергии, в момент касания пола – только кинетическая, тогда
\[ \begin{array}{l} {m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{0}^{2} =\upsilon ^{2} -2\cdot g\cdot h.{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(1\right)} \end{array} \]
Здесь υ – скорость мяча в момент первого удара. После второго отскока скорость мяча будет равна υ/4, т.к. после каждого удара о пол модуль скорости мяча уменьшается в два раза. Снова запишем закон сохранения механической энергии: в момент отскока у мяча есть кинетическая энергия, на высоте h – только потенциальная (в верхней точке скорость равна нулю), тогда
\[ \begin{array}{l} {\frac{m\cdot \left(\frac{\upsilon }{4} \right)^{2} }{2} =m\cdot g\cdot h,} \\ {\upsilon ^{2} =32\cdot g\cdot h.{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(2\right)} \end{array} \]
Подставим (2) в (1), определим начальную скорость, а затем и работу
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{0}^{2} =30\cdot g\cdot h,} \\ {A=\frac{m}{2} \cdot 30\cdot g\cdot h.} \end{array} \]
Ответ: 60 Дж.

[Виктор]

В3. Вариант 2.
Автомобиль, трогаясь с места, движется равноускоренно по прямолинейной траектории и за промежуток времени Δt = 2,00 с проходит путь s = 20,0 м. Если кинетическая энергия автомобиля в конце пути E_k = 140 кДж, то его масса m равна … кг.
Решение: при равноускоренном прямолинейном движении воспользуемся связью между начальной скоростью υ₀ = 0, конечной скоростью υ, пройденным путём s и ускорением тела a (ось х выберем в направлении движения автомобиля, тогда все величины - положительные):
\[ \upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} =2\cdot a_{x} \cdot s,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\upsilon ^{2} =2\cdot a\cdot s, \]
Запишем уравнение зависимости скорости от времени
\[ \upsilon _{x} \left(t\right)=\upsilon _{0x} +a_{x} \cdot t,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\upsilon =a\cdot \Delta t. \]
Разделив уравнения друг на друга, найдём конечную скорость
\[ \upsilon =\frac{2s}{\Delta t}. \]
Подставив эту скорость в формулу для кинетической энергии в конце пути E_k, определим массу автомобиля
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} =\frac{m\cdot 4s^{2}}{2\cdot \Delta t^{2}},} \\ {m=\frac{E_{k} \cdot \Delta t^{2} }{2s^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 700 кг.

[Виктор]

В2. Вариант 2.
Кинематический закон движения кабины лифта при её вертикальном подъёме вдоль оси Оy имеет вид y(t) = A + Bt + Ct², где A = 2 м, B = 3 м/с, C = 1 м/с². Масса кабины m = 0,5 т.  Если модуль силы сопротивления, действующей на кабину, которую поднимают с помощью троса, составляет 20% от модуля силы тяжести, то модуль силы натяжения F троса, приложенной к кабине, равен … кН.
Решение: при движении на лифт действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз;  F – сила натяжения троса, направленная вертикально вверх; F_с – сила сопротивления (F_с = 0,2∙mg), направленная вертикально вниз. При этом тело движется с ускорением, направленным вверх, проекция которого на ось  0y равна: a_y = 2С (коэффициент в кинематическом законе перед t² равен половине ускорения). Следовательно и ось 0y направлена вверх. Определим сила натяжения троса, записав второй закон Ньютона в проекциях на ось  0y:
\[ \begin{array}{l} {\vec{F}+m\vec{g}+\vec{F}_{c} =m\cdot \vec{a},} \\ {F-F_{c} -mg=m\cdot a,} \\ {F=m\cdot 2C+1,2\cdot mg.} \end{array} \]
Ответ: 7кН.

[Виктор]

В1. Вариант 2.
Тело, движущееся равноускоренно вдоль оси Ох, проходит за два равных последовательных промежутка времени Δt₁ = Δt₂ = 2 c пути s₁ = 8 м и s₂ = 16 м соответственно. Модуль ускорения a тела равен … м/с².
Решение: запишем уравнение зависимости пути от времени движения тела (тело движется вдоль оси – путь и перемещение совпадают). Пусть начальная скорость тела υ₀, тело разгоняется (a > 0):
\[ s=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}. \]
Если в уравнение подставить Δt₁, то s = s₁. Если в уравнение подставить 2∙Δt₁ (прошло два последовательных равных промежутка t = Δt₁ + Δt₂), то s = s₁+ s₂.
Таким образом, получаем систему двух уравнений:
\[ \left\{\begin{array}{l} {s_{1} =\upsilon _{0} \cdot \Delta t_{1} +\frac{a\cdot \Delta t_{1}^{2} }{2} ,} \\ {s_{1} +s_{2} =\upsilon _{0} \cdot 2\Delta t_{1} +\frac{a\cdot 4\cdot \Delta t_{1}^{2}}{2}.} \end{array}\right.  \]
Умножим первое уравнение на два и вычтем из второго первое (таким образом, избавимся от неизвестной начальной скорости) и найдём ускорение
\[ \begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {2s_{1} =2\upsilon _{0} \cdot \Delta t_{1} +a\cdot \Delta t_{1}^{2} ,} \\ {s_{1} +s_{2} =2\upsilon _{0} \cdot \Delta t_{1} +2a\cdot \Delta t_{1}^{2} ;} \end{array}\right. } \\ {s_{1} -s_{2} =-a\cdot \Delta t_{1}^{2} ,} \\ {a=\frac{s_{2} -s_{1} }{\Delta t_{1}^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 2 м/с².