4. Закон Ньютона. Силы в механике

[Сергей]

А1.10 Шарик скользит по гладкому стержню, составляющему угол α = 30°
с вертикалью, с модулем ускорения:
1) 9,8 м/с²;   2) 8,7 м/с²;   3) 7,4 м/с²;    4) 6,2 м/с²;   5) 5 м/с²;
Решение. На шарик действуют сила тяжести  mg и  сила реакции опоры N. Под действием этих сил шарик движется с ускорением. Направим ось Ох вдоль стержня. Тогда второй закон Ньютона в проекции на эту ось запишется

m·g·cosα = m·a;      a = g·cosα

ответ: 2) 8,7 м/с²

[Сергей]

А2.1 Если тело массой m = 2000 г удалить от поверхности Земли на расстояние, в к =3 раза превышающее радиус Земли, то модуль силы взаимодействия тела и Земли составит:
1) 1,25 Н;   2) 5,00 Н;   3) 6,70 Н;   4) 8,75 Н;   5) 9,00 Н.

Решение. Если тело находится вблизи от поверхности Земли, то оно притягивается к ней с силой
\[ F=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{R}^{2}}} \]
Если тело находится вдали от поверхности Земли, то сила гравитационного притяжения
\[ {{F}_{1}}=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{\left( R+h \right)}^{2}}} \]
Разделим первое уравнение на второе и учтем, что h = 3R и F = m·g
\[ {{F}_{1}}=\frac{F}{16}=\frac{m\cdot g}{16} \]
Ответ: 1) 1,25 Н

[Сергей]

А2.2 Имеются одинаковые пружины в количестве n = 5, которые можно соединить всеми возможными способами. Максимально возможная жесткость системы пружин больше минимально возможной жесткости:
1) в 5 раз;   2) в 10 раз;   3) в 15 раз;   4) в 25 раз;   5) в 50 раз.

Решение. При последовательном соединении пружин их жесткость (смотри задачу А1.6)
\[ \frac{1}{k}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{k}_{n}}} \]
Проведя аналогичные рассуждения для параллельно соединенных пружин, получим, что их жесткость

k = k₁ + k₂+···+k_n

При последовательном соединении жесткость k₁ будет минимальной, при параллельном – жесткость  k₂ будет максимальной. По условию пружины одинаковые. Обозначим иx жесткость k₀. Тогда для последовательно соединенных пружин

k₁ = k₀/n

Для параллельного

k₂ = n·k₀

Тогда
\[ \frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}}=\frac{n\cdot {{k}_{0}}}{\frac{{{k}_{0}}}{n}}={{n}^{2}} \]
ответ: 4) в 25 раз

[Сергей]

А2.3 На тело массой m = 3,0 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила, модуль которой F = 5,0 Н. Если коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,20, то модуль силы трения, действующей на тело, равен:
1) 3,0 Н;   2) 4,0 Н;   3) 5,0 Н;   4) 10 Н;   5) 15 Н.

Решение. Вычислим максимально возможную силу трения покоя

F_tr = μ·N = μ·m·g = 6 Н

Приложенная сила F = 5,0 Н оказывается меньше максимальной силы трения покоя. Тело находится в покое и сила трения покоя численно равна приложенной силе F
Ответ: 3) 5,0 Н

[Сергей]

А2.4 К вертикальной стене горизонтальной силой, модуль которой F = 20 Н, прижимается брусок массой m = 2,0 кг. Чтобы брусок мог скользить вниз вдоль стены с ускорением, модуль которого а = 1,0 м/с², при коэффициенте трения μ = 0,10, к нему следует приложить вертикальную силу, модуль которой равен:
1) 10 Н;   2) 16 Н;    3) 20 Н;   4) 32 Н;   5) 40 Н.

Решение. На брусок действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr,  искомая сила F₁ и сила F. Брусок скользит вниз с ускорением.
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+{{F}_{1}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a} \]
В проекциях на оси координат

Ох: F = N; Oy: F₁ + m·g - F_tr = m·a

С учетом того , что F_tr = μ·N

F₁ = m·(a – g) + μ·F = -16 Н.

Силу F₁ необходимо направить вверх
Ответ: 2) 16 Н

[Сергей]

А2.5 Веревка выдерживает груз массой m₁ =110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m₂ = 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. При равномерном подъеме с помощью этой веревки можно поднять груз массой:
1) 400 кг;   2) 267 кг;   3) 240 кг;   4) 200 кг;   5) 190 кг.

Решение. При равномерном подъеме сила натяжения веревки T равна силе тяжести mg
\[ T=m\cdot g;\,\,\,\,m=\frac{T}{g} \]
Определим максимальную силу натяжения веревки Т. Рассмотрим случай, когда груз поднимают вверх с некоторым ускорением. Направим ось Оу вверх. На груз действует сила натяжения веревки Т, направленная вверх и сила тяжести, направленная вниз.
\[ \vec{T}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}={{m}_{2}}\cdot \vec{a} \]

T – m₁·g = m₂·a; T = m·(a+g)  (1)

Когда  груз опускают с тем же ускорением

T = m·(g-а)  (2)

Приравняем  (1) и (2), найдем  ускорение и подставим, например в (1)
\[ a=\frac{g\cdot \left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right)}{{{m}_{2}}+{{m}_{1}}} \]
а = 7,25 м/с²; Т = 1897,5 Н; m = 190 кг
ответ: 5) 190 кг

[Сергей]

А2.6 Если вагонетка массой m = 350 кг движется по горизонтальным рельсам с ускорением, модуль которого а =0,15 м/с², при силе сопротивлений, модуль которой F_c = 12 Н, то модуль горизонтальной силы, под действием которой движется вагонетка, составляет:
1) 76 Н;   2) 65 Н;   3) 56 Н;   4) 40 Н;   5) 36 Н.

Решение. На вагонетку действуют сила F, под действием которой движется вагонетка, сила сопротивления F_c, сила тяжести mg и сила нормальной реакции опоры N. В проекции на ось Ох

F – F_c = m·a;    F = F_c + m·a

Ответ: 2) 65 Н

[Сергей]

А2.7 Шарик массой m = 10 г соскальзывает по вертикальной нити. Если модуль силы трения между шариком и нитью F = 0,05 Н, то модуль силы натяжения нити составляет:
1) 0,005 Н;   2) 0,05 Н;   3) 0,1 Н;   4) 0,2 Н;   5) 0,5 Н.

Решение. Сила с которой шарик действует на нить – сила трения, а значит сила натяжения нити численно равна силе трения
Ответ: 2) 0,05 Н;

[Сергей]

А2.8 Нa столе лежат два шарика массами m₁, и m₂, соединенные пружиной с жесткостью k. На шарик m₁ действует постоянная сила, модуль которой F, направленная вдоль пружины к шарику m₂. Если трение и колебания отсутствуют, то пружина будет сжата на x, равное:
\[ \begin{align}
  & 1)\,\frac{{{m}_{1}}\cdot F}{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)\cdot k};\,\,\,\,\,2)\,\frac{{{m}_{2}}\cdot F}{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)\cdot k};\,\,\,3)\,\frac{{{m}_{2}}\cdot F}{\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right)\cdot k} \\
 & 4)\,\,\frac{{{m}_{2}}\cdot F}{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)\cdot k};\,\,\,\,5)\frac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)\cdot F}{{{m}_{1}}\cdot k} \\
\end{align} \]

Решение. Система двух шариков придет в равновесии, когда ускорение второго шарика станет равным ускорению первого шарика. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ох

F – F_y1 = m₁·a;    F_y2 = m₂·a

Силы упругости F_y1 и F_y2 равны по модулю. Согласно закону Гука

F_y1 = F_y2 = k·x

Подставим в исходные уравнения и решим систему уравнений. Например, разделим
\[ \begin{align}
  & \frac{F-k\cdot x}{k\cdot x}=\frac{{{m}_{1}}\cdot a}{{{m}_{2}}\cdot a}; \\
 & \,x=\frac{{{m}_{2}}\cdot F}{k\cdot \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \\
\end{align} \]
Ответ: 4

[Сергей]

А2.9 Тело массой m₁ = 1,0 кг, брошенное под углом к горизонту, имеет в верхней точке траектории модуль полного ускорения а = 12 м/с². Модуль силы сопротивления среды в этой точке равен:
1) 6,6 Н;   2) 12 Н;   3) 16 Н;   4) 22 Н;   5) 44 Н.

Решение. При наличии сил сопротивления, движение вдоль оси Ох будет равнозамедленным. Обозначим а_х – ускорение вдоль оси Ох, а_у = g – ускорение вдоль оси Оу. В верхней точке траектории полное ускорение
\[ \begin{align}
  & a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\sqrt{a_{x}^{2}+{{g}^{2}}} \\
 & {{a}_{x}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{g}^{2}}} \\
\end{align} \]
Тогда сила сопротивления
\[ {{F}_{c}}=m\cdot {{a}_{x}}=m\cdot \sqrt{{{a}^{2}}-{{g}^{2}}} \]
Ответ: 1) 6,6 Н;