6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

[Сергей]

Тест А1. 10. Чтобы сцепить три одинаковых вагона, стоящих на рельсах на небольшом расстоянии друг от друга, первому сообщают скорость, модуль которой υ = 3 м/с. После сцепления модуль скорости вагонов станет равен:
1) 9 м/с; 2) 6 м/с; 3) 1 м/с; 4) 0,7 м/с; 5) 0,3 м/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. Покажем рисунки. Определим скорость после сцепления первого и второго вагона.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{12}}.\ {{\upsilon }_{2}}=0,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}. \\
 & Ox\ :\ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{12}},\ {{\upsilon }_{12}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{2}. \\
\end{align} \]

Определим скорость после сцепления трех одинаковых вагонов.

\[ \begin{align}
  & 2\cdot m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{12}}+{{m}_{3}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{3}}=3\cdot m\cdot \vec{\upsilon }.\ {{\upsilon }_{3}}=0,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}={{m}_{3}}. \\
 & Ox\ :\ 2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{12}}=3\cdot m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{12}}}{3},\ \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{1}}}{3\cdot 2}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{3}. \\
\end{align} \]

υ = 1,0 м/с.
Ответ: 3) 1 м/с.

[Сергей]

Тест А2. 1. Шарик массой m = 10 г, летящий перпендикулярно стенке со скоростью, модуль которой υ = 2 м/с, ударяется о стенку без потери скорости. Модуль изменения импульса шарика за время удара равен:
1) 0,01 кг∙м/с; 2) 0,02 кг∙м/с; 3) 0,04 кг∙м/с; 4) 0,08 кг∙м/с; 5) 0.
Решение. Покажем рисунок. Шарик ударяется об стенку без потери скорости, удар абсолютно упругий. Определим модуль изменения импульса шарика за время удара.

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}},\ Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}},\ {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=\upsilon ,\ \Delta p=2\cdot m\cdot \upsilon . \\
 & \Delta p=2\cdot 10\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2=40\cdot {{10}^{-3}}=0,04. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 0,04 кг∙м/с.

[Сергей]

Тест А2. 2. Из орудия в горизонтальном направлении вылетает снаряд со скоростью, модуль которой υ = 500 м/с. Если модуль силы трения F_ТР =
4500 Н, масса орудия М = 1500 кг, масса снаряда m = 12 кг, то расстояние, на которое откатятся орудие, равно:
1) 1,3 м; 2) 1,8 м; 3) 2,7 м; 4) 3,4 м; 5) 5,5 м.
Решение. Определим скорость орудия после выстрела. Для системы снаряд орудие можно применить закон сохранения импульса. До выстрела скорость системы была равна нулю, определим начальную скорость отката орудия.

\[ \begin{align}
  & (M+m)\cdot \vec{\upsilon }=M\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ \upsilon =0. \\
 & Ox:\ 0=M\cdot {{\upsilon }_{1}}-m\cdot {{\upsilon }_{2}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{2}}}{M}. \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\frac{500\cdot 12}{1500}=4. \\
\end{align} \]

Определим расстояние, на которое откатится орудие используя второй закон Ньютона. Покажем силы, которые действуют на орудие после выстрела:

\[ {{\vec{F}}_{tr}}+M\cdot \vec{g}+\vec{N}=M\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох: \

\[ Ox:{{F}_{tr}}=M\cdot a\ \ \ (1). \]

\[ \begin{align}
  & {{F}_{tr}}=M\cdot a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{1}^{2}}{-2\cdot s},\ \upsilon =0,\ {{F}_{tr}}=M\cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot s}.\ s=\frac{M\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot {{F}_{tr}}}. \\
 & s=\frac{1500\cdot 4\cdot 4}{2\cdot 4500}=2,7. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 2,7 м.

[Сергей]

Тест А2. 3. На тело в течение времени t = 10 с действует постоянная сила модулем F = 50 Н. Если модуль изменения скорости в результате действия силы ∆υ = 5,0 м/с, то масса тела равна:
1) 25 кг; 2) 50 кг; 3) 100 кг; 4) 200 кг; 5) 250 кг.
Решение. Изменение импульса тела равно импульсу силы.

\[ F\cdot t=m\cdot \Delta \upsilon ,\ m=\frac{F\cdot t}{\Delta \upsilon }.\ m=\frac{50\cdot 10}{5,0}=100. \]

Ответ: 3) 100 кг. 

[Сергей]

Тест А2. 4. Два шара движутся по гладкой горизонтальной плоскости вдоль одной прямой. Первый шар имеет массу m₁ = 0,5 кг и скорость, модуль которой υ₁ = 10 м/с, а второй — массу m₂ = 1кг и скорость, модуль которой υ₂ = 5 м/с. После того как первый шар догонит второй, происходит упругий удар и скорость первого шара уменьшается до величины u₁ = 8 м/с. Модуль скорости второго шара после удара составит:
1) 1,0 м/с; 2) 2,0 м/с; 3) 4,0 м/с; 4) 6,0 м/с; 5)9,0 м/с.
Решение. 
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно упругого взаимодействия.

\[  {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{u}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{u}}_{2}}. \]

Находим проекции на ось Ох и выразим скорость второго шара после удара.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}. \\
 & {{u}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}}{{{m}_{2}}}.\ {{u}_{2}}=\frac{0,5\cdot 10+1\cdot 5-0,5\cdot 8}{1}=6. \\
\end{align} \]

Ответ: 4) 6.

[Сергей]

Тест А2. 5. Если горизонтально летящая пуля массой m, застревая в подвешенном на нити теле такой же массы, сообщает ему модуль скорости υ, то при увеличении массы тела в n = 2 раза та же пуля при тех же условиях сообщит ему скорость, модуль которой равен:
1) υ/3; 2) υ/2; 3) 2∙υ/3; 4) 3∙υ/4; 5) 3∙υ/2.
 Решение. Рассмотрим первый случай. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+M)\cdot \vec{\upsilon }. \]

Находим проекции на ось Ох и найдем скорость пули до удара.

\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+M)\cdot \upsilon .\ M=m,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{2\cdot m\cdot \upsilon }{m},\ {{\upsilon }_{1}}=2\cdot \upsilon . \]

Рассмотрим второй случай, массу тела увеличили в два раза. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+{{M}_{2}})\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}. \]

Находим проекции на ось Ох и найдем скорость тела после взаимодействия.

\[ \begin{align}
  & m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+{{M}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{2}}.\ {{M}_{2}}=2\cdot m,\ \ {{\upsilon }_{1}}=2\cdot \upsilon ,\  \\
 & m\cdot 2\cdot \upsilon =(m+2\cdot m)\cdot {{\upsilon }_{2}}.\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{2\cdot m\cdot \upsilon }{3\cdot m}=\frac{2\cdot \upsilon }{3}. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 2∙υ/3.

[Сергей]

Тест А2. 6. Если два тела, летящие навстречу друг другу со скоростями, модуль каждой из которых υ = 5 м/с, после абсолютно неупругого удара стали двигаться со скоростью, модуль которой u = 2,5 м/с, то отношение масс этих тел составляет:
1) 1; 2) 1 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение.
 Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{u}. \]

Находим проекции на ось Ох и найдем отношение m₁/m₂ :

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot \upsilon -{{m}_{2}}\cdot \upsilon =({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot u. \\
 & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}-\upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot u}{{{m}_{2}}}+u,\ \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}-\frac{{{m}_{1}}\cdot u}{{{m}_{2}}}=\upsilon +u, \\
 & \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{\upsilon +u}{\upsilon -u},\ \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{5+2,5}{5-2,5}=3. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 3.

[Сергей]

Тест А2. 7. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту со скоростью, модуль которой υ = 20 м/с. Модуль импульса тела при броске больше модуля импульса в верхней точке траектории в
1) в 1,0 раза; 2) в 1,2 раза; 3) в 2,0 раза; 4) в 2,9 раза; 5) в 3,7 раза.
Решение.
Определим модуль импульса тела при броске.

р₁ = m∙υ   (1).

Определим модуль импульса тела в верхней точке траектории.

\[ \begin{align}
  & {{p}_{2}}=m\cdot {{\upsilon }_{2}}\ \ \ (2),\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}},\ {{\upsilon }_{x}}=\upsilon \cdot \cos \alpha ,\ {{\upsilon }_{x}}=\frac{\upsilon }{2},\ {{\upsilon }_{y}}=0. \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{\upsilon }{2},\ {{p}_{2}}=m\cdot \frac{\upsilon }{2}.\ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=\frac{m\cdot \upsilon }{m\cdot \frac{\upsilon }{2}}=2. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) в 2,0 раза.

[Сергей]

Тест А2. 9. Изменение модуля импульса шарика массой m, упавшего на горизонтальную плиту с высоты h и подпрыгнувшего на высоту Н, в момент удара составило:
1) m∙√(2∙g∙H + 2∙gh); 2) m∙√(2∙g∙H - 2∙gh); 3) m∙(√(2∙g∙H) - √(2∙gh)); 4); m∙√(g∙H + gh)5)  m∙(√(2∙g∙H)  + √(2∙gh)).
Решение. Покажем рисунок.
Изменения импульса тела определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}\ \ (1). \\
 & Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}}\ ,\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot h},\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{2\cdot g\cdot H}, \\
 & \Delta p=m\cdot (\sqrt{2\cdot g\cdot H}+\sqrt{2\cdot g\cdot h}). \\
\end{align} \]

Ответ 5) m∙(√(2∙g∙H)  + √(2∙gh)).

[Сергей]

Тест В1. 1. Мальчик, бегущий со скоростью, модуль которой υ₁ = 4,0 м/с, догоняет тележку, движущуюся со скоростью модулем υ₂ = 3,0 м/с, и вскакивает на нее. Масса мальчика m₁ = 50 кг, масса тележки m₂ = 80 кг. Модуль скорости тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее, составляет … м/с.
Решение. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Находим проекции на ось Ох и выразим скорость тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее:

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \  \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}.\ \upsilon =\frac{50\cdot 4,0+80\cdot 3,0}{50+80}\ =3,384. \\
\end{align} \]

υ = 3,4 м/с.
Ответ: 3,4 м/с.