6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

[Сергей]

Тест В1. 2. Автомат выпускает пули с частотой ν = 600 мин^-1. Масса каждой пули m = 4,0 г, модуль начальной скорости υ = 500 м/с. Модуль средней силы отдачи при стрельбе составляет … Н.
Решение. Определим изменение импульса одной пули.

\[ \Delta p=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{0}},\ oX:\ \Delta p=m\cdot \upsilon \ \ \ (1). \]

Изменение импульса тела равно импульсу силы. Определим силу отдачи при выстреле одной пули.

\[ {{F}_{1}}\cdot t=\Delta p,\ {{F}_{1}}\cdot t=m\cdot \upsilon ,\ {{F}_{1}}=\frac{m\cdot \upsilon }{t}\ \ \ (2). \]

Модуль средней силы отдачи при стрельбе составит:

\[ \begin{align}
  & F=N\cdot {{F}_{1}},\ N=\nu \cdot t,\ F=\nu \cdot t\cdot \frac{m\cdot \upsilon }{t},\ F=\nu \cdot m\cdot \upsilon . \\
 & F=\frac{600}{60}\cdot 4,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 500=20. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 20 Н.

[Сергей]

Тест В1. 3. Частицы массами m₁ = 4,0 и m₂ = 6,0 г со скоростями, модули которых υ₁ = 2,0 м/с и υ₂ = 1,0 м/с, движутся взаимно перпендикулярно. При столкновении частиц происходит неупругий удар, в результате которого частицы начинают двигаться вместе. Модуль скорости частиц после удара составляет … м/с.
Решение. Покажем рисунок.
 Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }.\ {{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}={{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}. \\
 & \upsilon =\frac{\sqrt{{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}.\  \\
 & \upsilon =\frac{\sqrt{{{(4\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2,0)}^{2}}+{{(6,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 1,0)}^{2}}}}{(4\cdot {{10}^{-3}}+6,0\cdot {{10}^{-3}})}=1,0. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,0 м/с.

[Сергей]

Тест В1. 5. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. Если длина лодки составляет l = 3,0 м, масса человека m = 60 кг, а масса лодки М = 120 кг, то лодка переместится на расстояние … м.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения импульса:

\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]

р₁ – импульс до взаимодействия (человек стоит ):
 

р₁ = 0   (2).

р₂ – импульс во время взаимодействия (человек переходит с носа на корму в одну сторону, лодка вместе с человеком движется в другую сторону)

р₂ = m∙υ₁ – (М + m)∙υ₂ (3).

Подставим (3) и (2) в (1) выразим перемещение лодки:

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}=\frac{l}{t},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{s}{t},\ m\cdot \frac{l}{t}=(M+m)\cdot \frac{s}{t},\ s=\frac{m\cdot l}{M+m}. \\
 & s=\frac{60\cdot 3,0}{60+120}=1,0. \\
\end{align} \]

s = 1,0 м.
Ответ: 1,0 м.

[Сергей]

Тест В1. 6. Тележка массой m₁ = 120 кг движется по рельсам без трения со скоростью, модуль которой υ₁ = 6,0 м/с. С тележки соскакивает человек массой m₂ = 80 кг под углом 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Если модуль скорости тележки уменьшается при этом до u₁ = 5,0 м/с, то модуль скорости человека относительно земли во время прыжка равен … м/с.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.
Находим проекции на ось Ох и выразим скорость человека в тот момент, когда он выскочит из нее :

\[ \begin{align}
  & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\  \\
 & Ox:\ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ={{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}\cdot \cos \alpha ,\  \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon -{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}}{{{m}_{2}}\cdot \cos \alpha },\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{(120+80)\cdot 6,0-120\cdot 5,0}{80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=8,67. \\
\end{align} \]

Ответ: 8,7 м/с.

[Сергей]

Тест В1. 4. Снаряд, летящий со скоростью, модуль которой υ₀ = 100 м/с, в верхней точке траектории на высоте h = 100 м разорвался на две части массами m₁ = 1,0 кг и m₂ = 1,5 кг. Модуль скорости большего осколка υ₂ = 250 м/с и совпадает по направлению с υ₀. Расстояние между точками падения обоих осколков составляет ... км.
Решение. Будем считать, что снаряд летит горизонтально. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия, определим скорость первого осколка.

\[ \begin{align}
  & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ Ox:\ \ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{0}}={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}, \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{0}}}{{{m}_{1}}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{1,5\cdot 250-(1,5+1,0)\cdot 100}{1,0}=125. \\
\end{align} \]

Определим время падения осколков, перемещение по горизонтали первого и второго осколка и расстояние между точками падения обоих осколков.

\[ \begin{align}
  & t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}},\ t=\sqrt{\frac{2\cdot 100}{10}}=\sqrt{20}.\ {{s}_{1}}={{\upsilon }_{1}}\cdot t,\ {{s}_{2}}={{\upsilon }_{2}}\cdot t,\ s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}, \\
 & s=t\cdot ({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}),\ s=\sqrt{20}\cdot (125+250)=1677,05. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,7 км.

[Сергей]

Тест В 1. 8. Граната, летевшая горизонтально со скоростью, модуль которой υ = 10 м/с, разорвалась на две части массами m₁ = 1,0 кг и m₂ = 1,5 кг. Если скорость большего осколка осталась горизонтальной и модуль ее υ₂ = 26 м/с, то модуль скорости меньшего осколка составляет ... м/с.
Решение.   Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия, определим скорость меньшего осколка. 

\[ \begin{align}
  & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ Ox:\ \ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}, \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon }{{{m}_{1}}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{1,5\cdot 26-(1,5+1,0)\cdot 10}{1,0}=14. \\
\end{align} \]

Ответ: 14 м/с.

[Сергей]

Тест В 1. 9. К неподвижному аэростату массой М = 1140 кг привязана веревочная лестница, на которой стоит человек массой m = 60 кг. Если человек начнет подниматься по лестнице с постоянной по модулю скоростью υ = 1,0 м/с относительно лестницы, то аэростат будет перемещаться со скоростью, модуль которой равен ... см/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса:

\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]

р₁ – импульс до взаимодействия (человек стоит на лестнице ):
 

р₁ = 0   (2).

р₂ – импульс во время взаимодействия (человек поднимается  в одну сторону, аэростат вместе с человеком движется в другую сторону)

р₂ = m∙υ – (М + m)∙υ₂   (3).

Подставим (3) и (2) в (1) выразим скорость перемещения аэростата:

\[ \begin{align}
  & 0=m\cdot \upsilon -(M+m)\cdot {{\upsilon }_{2}},\ \ {{\upsilon }_{2}}=\frac{m\cdot \upsilon }{M+m}. \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{60\cdot 1,0\cdot 100}{60+1140}=5,0. \\
\end{align} \]

υ₂ = 5,0 см/с.
Ответ: 5 см/с.

[Сергей]

Тест В 1. 10. Тело массой m = 200 г брошено с начальной скоростью, модуль которой υ₀ =50 м/с, под углом α = 30° к горизонту.  Модуль изменения импульса тела за время полета равен … кг∙м/с.
Решение.

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}.\  \\
 & Ox:\ \Delta {{p}_{x}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha -m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha =0, \\
 & Oy:\ \Delta {{p}_{y}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha +m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,\ \Delta {{p}_{y}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha . \\
 & \Delta p=\sqrt{\Delta p_{x}^{2}+\Delta p_{y}^{2}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha . \\
 & \Delta p=2\cdot 0,2\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=10. \\
\end{align} \]

Ответ: 10 кг∙м/с.

[Сергей]

Тест В2. 1. Конькобежец массой m₁ = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m₂ = 3,0 кг со скоростью, модуль которой υ = 8,0 м/с. Если коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02 0, то конькобежец откатится на расстояние ... см.
Решение. Определим скорость конькобежца после бросания камня.
Для системы конькобежец камень можно применить закон сохранения импульса.
До броска скорость системы была равна нулю, определим начальную скорость отката конькобежца.

\[ \begin{align}
  & 0={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{\upsilon }=0. \\
 & Ox:\ 0={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot \upsilon ,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon }{{{m}_{1}}}. \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\frac{3,0\cdot 8,0}{70}=\frac{12}{35}. \\
\end{align} \]

Определим расстояние, на которое откатится конькобежец, используя второй закон Ньютона. Покажем силы, которые действуют на конькобежца после броска:

\[ {{\vec{F}}_{tr}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}+\vec{N}={{m}_{1}}\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & \ Ox:{{F}_{tr}}={{m}_{1}}\cdot a\ \ \ (1),\ Oy:\ N-{{m}_{1}}\cdot g=0\ \ \ (2),\ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3), \\
 & \mu \cdot {{m}_{1}}\cdot g={{m}_{1}}\cdot a\ ,\ a=\mu \cdot g\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & a=\frac{\upsilon _{k}^{2}-\upsilon _{1}^{2}}{-2\cdot s},\ {{\upsilon }_{k}}=0,\ \mu \cdot g=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot s}\ s=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot \mu \cdot g}. \\
 & s=\frac{{{(\frac{12}{35})}^{2}}}{2\cdot 10\cdot 0,02}\cdot 100=29,387. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 29,387 см.

[Сергей]

Тест В2. 2. Тело массой m₁ = 2,0 кг движется навстречу второму телу
m₂ = 1,5 кг и не упруго сталкивается с ним. Модули скоростей тел непосредственно перед ударом υ₁ = 1,0 м/с и υ₂ = 2,0 м/с. Если коэффициент трения  μ = 0,050, то тела после удара будут двигаться в течение времени ... с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]

Находим проекции импульсов тел на ось Ох и найдем скорость совместного движения тел.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})},\ \upsilon =\frac{2,0\cdot 1,0-1,5\cdot 2,0}{2,0+1,5}=-\frac{1}{3,5}. \\
\end{align} \]

Скорость направлена против выбранной нами оси.
Определим время, на протяжении которого будут двигаться тела после взаимодействия до полной остановки, используя второй закон Ньютона. Движение равнозамедленное, начальная скорость равна скорости, которую получат тела сразу после взаимодействия. Покажем силы, которые действуют на тело массой m₁ + m₂.

\[ {{\vec{F}}_{tr}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & \ Ox:{{F}_{tr}}=m\cdot a\ \ \ (1),\ Oy:\ N-m\cdot g=0\ \ \ (2),\ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3), \\
 & \mu \cdot m\cdot g=m\cdot a\ ,\ a=\mu \cdot g\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & \upsilon ={{\upsilon }_{0}}-a\cdot t,\ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{a},\ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{\mu \cdot g}. \\
 & t=\frac{1}{3,5\cdot 10\cdot 0,05}=0,57. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,57 с.