Репетиционное тестирование 3 этап 2013/2014

[Виктор]

В10, вариант 1
Заряженная частица массой m = 4,5∙10^-11 кг, обладающая кинетической энергией W_k = 1,0∙10^-5 Дж, движется равномерно по окружности в однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 3,14 Тл. Если путь s = 3 см частица прошла за минимальный промежуток времени, в течение которого направление её скорости изменилось на противоположное, то модуль заряда q частицы равен … мкКл.
В10, вариант 2
Заряженная частица, обладающая кинетической энергией W_k = 1,0∙10^-5 Дж, равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 3,14 Тл. Масса частицы m = 4,5∙10^-11 кг, её заряд  q = 1,5∙10^-6 Кл.  Путь s, который прошла частица за минимальный промежуток времени, в течение которого направление её скорости изменилось на противоположное, равен … мм.
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой будет равен (учитываем, что частица влетает перпендикулярно полю) 
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение и частица будет двигаться по окружности радиуса R, со скоростью υ. Из второго закона Ньютона получим:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot \upsilon \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R\cdot q\cdot B=m\cdot \upsilon .} \end{array} \]
Скорость частицы определим из энергии (кинетическая)
\[ W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} ,{\rm \; \; \; \; }\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot W_{k}}{m}}. \]
Путь s, который прошла частица за минимальный промежуток времени, в течение которого направление её скорости изменилось на противоположное, будет равен половине длины окружности: s = π∙R (когда частица окажется в диаметрально противоположной точке, её скорость будет противоположно направлена – частица повернётся на 180°). Таким образом,
\[ \begin{array}{l} {\frac{s}{\pi } \cdot q\cdot B=m\cdot \sqrt{\frac{2\cdot W_{k} }{m} } ,} \\ {q=\frac{\pi }{B\cdot s} \cdot \sqrt{2\cdot m\cdot W_{k} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }s=\frac{\pi }{B\cdot q} \cdot \sqrt{2\cdot m\cdot W_{k}}.} \end{array} \]
Ответ: 1 мкКл – вариант 1;
           20 мм – вариант 2.

[Виктор]

В11, вариант 1
В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Если максимальный заряд конденсатора q₀ = 200 нКл, а максимальная сила тока в катушке I₀ = 100 мкА, то  циклическая частота ω свободных электромагнитных колебаний в контуре равна … рад/с.
В11, вариант 2
В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Если максимальный заряд конденсатора q₀ = 0,21 мкКл, а максимальная сила тока в катушке I₀ = 0,10 А, то  период T свободных электромагнитных колебаний в контуре равен … мкс.
Решение: период свободных электромагнитных колебаний в контуре
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
Где L – индуктивность катушки, C –электроёмкость конденсатора. Циклическая частота
\[ \omega =\frac{2\pi }{T} =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}. \]
Энергия электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре остаётся постоянной в любой момент времени. Её можно определить как максимальную энергию заряженного конденсатора, либо, как максимальную энергию магнитного поля тока катушки:
\[ \begin{array}{l} {W=\frac{q_{0}^{2}}{2\cdot C} =\frac{L\cdot I_{0}^{2} }{2} ,} \\ {L\cdot C=\frac{q_{0}^{2}}{I_{0}^{2}} ,{\rm \; \; \; \; }\sqrt{L\cdot C} =\frac{q_{0}}{I_{0}}.} \end{array} \]
Таким образом циклическая частота и период колебаний будут равны
\[ \omega =\frac{I_{0}}{q_{0}} ,{\rm \; \; \; \; \; }T=2\pi \cdot \frac{q_{0}}{I_{0}}. \]
Ответ: 500 рад/с – вариант 1;
           13 мкс – вариант 2.

[Виктор]

В12, вариант 1
В однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 0,38 Тл, расположены два длинных вертикальных стержня, замкнутых в верхней части проводом (см. рис.). Плоскость, в которой находятся стержни, перпендикулярна индукции магнитного поля. Расстояние между стержнями  l = 10 см. Проводящая перемычка AD массой m = 5,8∙10^-3 кг скользит вниз по вертикальным стержням без трения и нарушения контакта с постоянной скоростью, модуль которой υ = 2,9 м/с. Если электрическое сопротивление стержней и провода пренебрежимо мало, то сопротивление R перемычки AD равно … мОм.
В12, вариант 2
В однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 0,34 Тл, расположены два длинных вертикальных стержня, замкнутых в верхней части проводом (см. рис.). Плоскость, в которой находятся стержни, перпендикулярна индукции магнитного поля. Расстояние между стержнями l = 10 см. Проводящая перемычка AD массой m = 4,8∙10^-3 кг скользит вниз по вертикальным стержням без трения и нарушения контакта с постоянной скоростью, модуль которой υ = 2,4 м/с. Если электрическое сопротивление стержней и провода пренебрежимо мало, то сопротивление R перемычки AD равно … мОм.
Решение: подвижный перемычка AD вместе с неподвижными стержнями и проводом представляют собой замкнутый контур. При движении перемычки на её концах возникнет разность потенциалов (ЭДС индукции)
\[ E_{i} =B\cdot l\cdot \upsilon \cdot \sin 90^{\circ } =B\cdot l\cdot \upsilon . \]
 В контуре потечёт индукционный ток (он будет направлен от D к А, силу тока можно определить по закону Ома),
\[ I_{i} =\frac{E_{i} }{R} =\frac{B\cdot l\cdot \upsilon }{R}, \]
При этом на перемычку будет действовать сила Ампера, направленная вверх (правило левой руки). Модуль силы Ампера:
\[ F_{A} =I_{i} \cdot B\cdot l\cdot \sin 90^{\circ } =\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon }{R}. \]
Кроме силы Ампера на перемычку действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Т.к. перемычка AD движется равномерно, то сила тяжести mg равна по модулю и противоположна по направлению силе Ампера (сумма сил должна быть рана нулю). Получаем
\[ \begin{array}{l} {mg=F_{A} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }mg=\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon }{R} ,} \\ {R=\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon }{mg} .} \end{array} \]
Ответ: 72 мОм – вариант 1;
           58 мОм – вариант 2.

[Сергей]

А1 вариант 1 Материальная точка движется прямолинейно и равноускорено. График зависимости модуля её ускорения а от времени t представлен на рисунке, обозначенном цифрой:
1) 1;   2) 2;   3) 3;   4) 4;   5) 5;

Решение. Равноускоренное прямолинейное движение – это движение вдоль прямой линии с постоянным ускорением. График, где ускорение с течением времени не изменяется, обозначен цифрой 1
Ответ: 1) 1;

[Сергей]

А1 вариант 2 Материальная точка движется равномерно. График зависимости модуля её скорости υ от времени t представлен на рисунке, обозначенном цифрой:
1) 1;   2) 2;   3) 3;   4) 4;   5) 5;

Решение. Проекция скорости движения при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется. График представлен на рисунке 3
Ответ: 3) 3;

[Сергей]

А2 вариант 1 Кинематический закон движения тела вдоль оси Ох имеет вид x(t) = A + Bt + Ct², где А = -3,00 м, В = 6,00 м/с, С = –0,125 м/с². Модуль скорости тела в момент времени t = 2,00 с равен:
1) 2,50 м/с;   2) 3,50 м/с;   3) 4,50 м/с;   4) 5,50 м/с;   5) 6,50 м/с;

А2 вариант 2 Кинематический закон движения тела вдоль оси Ох имеет вид x(t) = A + Bt – Ct², где А = 2 м, В = 3 м/с, С = –0,5 м/с². Модуль скорости тела в момент времени t = 2 с равен:
1) 1 м/с;   2) 2 м/с;   3) 3 м/с;   4) 4 м/с;   5) 5 м/с;

Решение. Кинематическое уравнение скорости и координаты при равноускоренном движении в проекциях на координатную ось Ох имеют вид:
 \[ \begin{align}
  & \,\,\,{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}+{{a}_{x}}\cdot t\,\,(1) \\
 & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2}\,\,(2) \\
\end{align}
 \]

вариант 1 Сравнивая исходное уравнение с (2), легко видеть, что υ_0х = 6,00 м/с, а_х = 2С = –0,25 м/с². Тогда на основании (1)

υ = 6,00 – 0,25·2,00 = 5,50 м/с

Ответ: 4) 5,50 м/с

вариант 2 Сравнивая исходное уравнение с (2), легко видеть, что υ_0х = 3 м/с, а_х = 2С = –1 м/с². Тогда на основании (1)

υ = 3 – 1·2 = 1 м/с

Ответ: 1) 1 м/с;

[Сергей]

А3 вариант 1 Модуль линейной скорости точек, лежащих на ободе равномерно вращающегося колеса, υ₁ =3,00 м/с, а точек, расположенных ближе к оси вращения на Δl = 10,0см, υ₂ = 2,00 м/с . За промежуток времени Δt = 1,00 мин колесо совершает количество оборотов N, равное:
1) 1,60; 2) 2,56; 3) 3,14; 4) 6,28; 5) 95,5.

Решение. За промежуток времени Δt колесо совершает количество оборотов N, равное

N = ν·Δt

Где ν – частота вращения точек колеса.  Линейная скорость υ₁ точек на ободе колеса и скорость υ₂ точек расположенных на расстояние Δl ближе к оси вращения равны соответственно (l – радиус колеса)

υ₁ = 2·π·l·ν;   υ₂ = 2·π·(l–Δl)·ν

Определим частоту и подставим в первое уравнение
\[ \nu =\frac{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot \pi \cdot \Delta l};\,\,\,\,N=\frac{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot \pi \cdot \Delta l}\cdot \Delta t \]
Ответ: 5) 95,5

[Сергей]

А3 вариант 2 Если минутная стрелка часов на 20 % длиннее секундной, то отношение модуля линейной скорости конца секундной стрелки к модулю линейной скорости конца минутном стрелки  υс/υm равно
1) 5,0;   2) 12;   3) 20;    4) 50;   5) 64.

Решение. Обозначим l_c длину секундной стрелки. Тогда длина минутной стрелки l_m = 1,2· l_c. Период обращения секундной стрелки Т_с = 60 с, период обращения минутной стрелки T_m = 3600 с. Тогда
\[ \frac{{{\upsilon }_{c}}}{{{\upsilon }_{m}}}=\frac{{{\omega }_{c}}\cdot {{l}_{c}}}{{{\omega }_{m}}\cdot {{l}_{m}}}=\frac{\frac{2\cdot \pi \cdot {{l}_{c}}}{{{T}_{c}}}}{\frac{2\cdot \pi \cdot {{l}_{m}}}{{{T}_{m}}}}=\frac{{{T}_{m}}}{1,2\cdot {{T}_{c}}} \]
ответ: 4) 50

[Сергей]

А4 вариант 1 Период обращения космического корабля вокруг некоторой планеты по круговой орбите вблизи ее поверхности Т = 88 мин. Средняя плотность <ρ>вещества планеты равна:
1) 6,4·10³ кг/м³;   2) 5,1 ·10³ кг/м³;   3) 4,6 ·10³ кг/м³;   4) 3,9·10³ кг/м³;   5) 3,2·10³ кг/м³;

Решение. Космический корабль притягивается к планете с силой F
\[ F=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{R}^{2}}} \]
Эта же сила сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{R}^{2}}};\, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=G\cdot \frac{M}{R}=G\cdot \frac{<\rho >\cdot V}{R}=\frac{G\cdot <\rho >\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{R} \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }^{2}}=G\cdot <\rho >\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}} \\
\end{align} \]
При движении по окружности линейная скорость движения и период связаны следующим соотношением
\[ \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T} \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & \frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{R}^{2}}}{{{T}^{2}}}=G\cdot <\rho >\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}} \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<\rho >=\frac{3\cdot \pi }{G\cdot {{T}^{2}}} \\
\end{align} \]
Ответ: 2) 5,1 ·10³ кг/м³

[Сергей]

А4 вариант 2 Искусственный спутник выведен на круговую орбиту на высоту h = 400 км над поверхностью Земли. Масса Земли М_з =6,00·10²⁴ кг, радиус Земли R₃ = 6,38·10³ км. Период Т обращения спутника вокруг Земли равен:
1) 1,10ч;    2) 1,24 ч;    3) 1,36 ч;    4) 1,54 ч;   5) 1,62 ч.

Решение. Искусственный спутник притягивается к планете с силой F
\[ F=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{(R+h)}^{2}}} \]
Эта же сила сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & m\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{R+h}=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{(R+h)}^{2}}};\, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=\frac{G\cdot M}{R+h} \\
\end{align} \]
Линейная скорость движения спутника и период связаны следующим соотношением
\[ \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot (R+h)}{T} \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & \frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{(R+h)}^{2}}}{{{T}^{2}}}=\frac{G\cdot M}{R+h} \\
 & T=2\cdot \pi \cdot (R+h)\cdot \sqrt{\frac{R+h}{G\cdot M}} \\
\end{align} \]
ответ: 4) 1,54 ч