Решение: равнодействующая F = 0,6 мкН. Пусть сторона треугольника a = 0,2 м, заряды в вершинах треугольника q1 = q2 = q3 = q = 1нКл, заряд на середине стороны пусть будет равен q′ (для удобства будем считать его положительным, т.к. существенной разницы нет: если будет отрицательным, то изменится направление сил на противоположное). Изобразим силы, действующие на заряд q′ (см. рис 1.)
Расстояния от зарядов до заряда q′: r1 = r3 = a/2 по условию, r2 = a∙√3/2 - теорема Пифагора. Т.к. все заряды положительные, то на заряд q′ действуют силы кулоновского отталкивания со стороны остальных зарядов. Запишем закон Кулона
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =\frac{k\cdot q_{1} \cdot q'}{\left(\frac{a}{2} \right)^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot q_{1} \cdot q}{a^{2} } =\frac{4\cdot k\cdot q_{3} \cdot q'}{a^{2} } =F_{3} =\frac{4\cdot k\cdot q\cdot q'}{a^{2}},} \\ {F_{2} =\frac{k\cdot q_{2} \cdot q'}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2} \right)^{2} } =\frac{4\cdot k\cdot q\cdot q'}{3\cdot a^{2}}.} \end{array} \]
Здесь k = 9∙109 Н∙м2/Кл2. Равнодействующая сил равна их векторной сумме. Учтём, что силы F1 и F3 равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма равна нулю, тогда равнодействующая F
\[ \begin{array}{l} {\vec{F}=\vec{F}_{1} +\vec{F}_{2} +\vec{F}_{3} =\left(\vec{F}_{1} +\vec{F}_{3} \right)+\vec{F}_{2} =0+\vec{F}_{2},} \\ {F=F_{2} =\frac{4\cdot k\cdot q\cdot q'}{3\cdot a^{2}},} \\ {q'=\frac{3\cdot F\cdot a^{2} }{4\cdot k\cdot q}.} \end{array} \]
Каждый из зарядов создаёт в точке нахождения заряда q′ электростатическое поле, напряжённость которого направлена от заряда, создающего поле т.к. заряды положительные. Пусть напряжённость поля первого заряда E1, второго заряда – E2 , третьего – E3 (см. рис.2).
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =\frac{k\cdot q_{1}}{\left(\frac{a}{2} \right)^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot q_{1} }{a^{2} } {\rm =}\frac{4\cdot k\cdot q_{3}}{a^{2}} {\rm =}E_{3} {\rm =}\frac{4\cdot k\cdot q}{a^{2} } {\rm ,}} \\ {E_{2} =\frac{k\cdot q_{2} }{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2} \right)^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot q}{3\cdot a^{2}}.} \end{array} \]
Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Учтём, что напряжённости полей E1 и E3 равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма равна нулю, тогда результирующая напряжённость E равна
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\left(\vec{E}_{1} +\vec{E}_{3} \right)+\vec{E}_{2} =\vec{E}_{2},} \\ {E=E_{2} =\frac{4\cdot k\cdot q}{3\cdot a^{2}}.} \end{array} \]
Потенциал поля системы точечных зарядов также подчиняется принципу суперпозиции, и для системы трёх положительных зарядов
\[ \begin{array}{l} {\varphi _{1} =\frac{k\cdot q_{1}}{\left(\frac{a}{2} \right)} =\frac{2\cdot k\cdot q_{1}}{a} =\frac{2\cdot k\cdot q_{3}}{a} =\varphi _{3} =\frac{2\cdot k\cdot q}{a},} \\ {\varphi _{2} =\frac{k\cdot q_{2} }{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2} \right)} =\frac{2\cdot k\cdot q}{\sqrt{3} \cdot a},} \\ {\varphi =\varphi _{1} +\varphi _{2} +\varphi _{3} =\frac{2\cdot k\cdot q}{a} \cdot \left(2+\frac{1}{\sqrt{3}} \right).} \end{array} \]
Ответ: 2 нКл, 300 В/м, 232 В.
