На пружине к потолку подвешен груз

[Сергей]

На пружине жесткостью 50 Н/м к потолку подвешен груз массой 0,5 кг. На груз начинает действовать постоянная сила 10 Н, направленная вертикально вниз. Найдите максимальную скорость груза.

[alsak]

На груз действуют: сила тяжести (m∙g), сила упругости пружины (F_ynp) и внешняя сила F = 10 Н (рис.). Скорость груза будет увеличивать, пока
\[F+m\cdot g>F_{ynp} ,\]
где F_ynp = k∙Δl. И достигнет максимума (точка D на рис.), когда
\[F+m\cdot g=F_{ynp} =k\cdot \Delta l_{2} .\; \; \; (1)\]

Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, где скорость достигла максимума. Для этой точки энергия системы груз-пружина
\[W_{D} =\frac{k\cdot \Delta l_{2}^{2} }{2} +\frac{m\cdot \upsilon _{m}^{2} }{2} .\]
Для положения равновесия (точки В на рис.) энергия системы груз-пружина:
\[W_{B} =\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2} }{2} +m\cdot g\cdot h,\]
где h = Δl₂ – Δl₁, а Δl₁ найдем из условия равновесия груза, т.е.
\[m\cdot g=k\cdot \Delta l_{1} ,\; \; \; \Delta l_{1} =\frac{m\cdot g}{k} .\; \; \; (2)\]
Изменение энергии системы произошло под действием внешней силы F, работа которой
\[\begin{array}{c} {A=F\cdot h=W_{D} -W_{B} ,} \\ {F\cdot h=\frac{k\cdot \Delta l_{2}^{2} }{2} +\frac{m\cdot \upsilon _{m}^{2} }{2} -\left(\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2} }{2} +m\cdot g\cdot h\right).} \end{array}\]
Чтобы упростить решения, можно отдельно посчитать значения Δl₂ (из уравнения (1)) и Δl₁ (из уравнения (2)):

Δl₂ = 0,3 м, Δl₁ = 0,1 м, h = 0,2 м.

Тогда
\[\begin{array}{c} {\frac{m\cdot \upsilon _{m}^{2} }{2} =F\cdot h+\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2} }{2} +m\cdot g\cdot h-\frac{k\cdot \Delta l_{2}^{2} }{2} =\left(F+m\cdot g\right)\cdot h-\frac{k}{2} \cdot \left(\Delta l_{2}^{2} -\Delta l_{1}^{2} \right),} \\ {\upsilon _{m} =\sqrt{\frac{2\left(F+m\cdot g\right)\cdot h-k\cdot \left(\Delta l_{2}^{2} -\Delta l_{1}^{2} \right)}{m} } ,} \end{array}\]
υ_m = 2,0 м/с.