Решение: т.к. шарики касались друг друга и одинаковых размеров, то в момент удара точки соприкосновения трёх шаров будут на отрезках, соединяющих их центры, из чего следует, что после столкновения покоящиеся шары разлетятся под углом 60° друг к другу, симметрично относительно первоначального направления движения третьего шара, т.е. под углом 30° к этому направлению (пусть это будет ось X).Третий шар после столкновения продолжит движение вдоль этой оси (из соображений симметрии). Пусть после столкновения скорость первого шара равна υ1, второго – υ2, третьего – u . Масса первого и второго шара – M, третьего – 2M. Сделаем рисунок для ситуации до и после столкновения
Удар шаров упругий. При этом выполняются: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии (только кинетической энергии, т.к. шары находятся на одной плоскости). Запишем закон сохранения импульса, учтём, что импульс равен произведению массы тела на его скорость.
\[ 2M\cdot \vec{\upsilon }=M\cdot \vec{\upsilon }_{1} +M\cdot \vec{\upsilon }_{2} +2M\cdot \vec{u}. \]
Для начала спроецируем его на ось Y:
\begin{array}{l} {0=M\cdot \upsilon _{1} \cdot \sin 30{}^\circ -M\cdot \upsilon _{2} \cdot \sin 30{}^\circ ,} \\ {\upsilon _{1} =\upsilon _{2}.} \end{array}
Как видим, скорости первого и второго шара после столкновения равны по модулю. В дальнейшем υ2 будем заменять на υ1 для упрощения математических преобразований. Теперь проекция на ось X:
\[ \begin{array}{l} {2M\cdot \upsilon =M\cdot \upsilon _{1} \cdot \cos 30{}^\circ +M\cdot \upsilon _{2} \cdot \cos 30{}^\circ +2M\cdot u,} \\ {2M\cdot \upsilon =2\cdot M\cdot \upsilon _{1} \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} +2M\cdot u,{\rm \; \; \; \; \; }2\cdot \upsilon =\upsilon _{1} \cdot \sqrt{3} +2\cdot u,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \left(\upsilon -u\right).} \end{array} \]
Теперь запишем закон сохранения энергии и преобразуем его
\[ \begin{array}{l} {\frac{2M\cdot \upsilon ^{2}}{2} =\frac{M\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} +\frac{2M\cdot u^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon ^{2} =\upsilon _{1}^{2} +u^{2}.} \end{array} \]
Подставим в полученное уравнение выражение для скорости υ1 и найдём значение скорости третьего шара u:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon ^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \left(\upsilon -u\right)\right)^{2} +u^{2} =\frac{4}{3} \left(\upsilon -u\right)^{2} +u^{2},} \\ {3\cdot \upsilon ^{2} =4\cdot \left(\upsilon ^{2} -2\cdot \upsilon \cdot u+u^{2} \right)+3\cdot u^{2},} \\ {4\cdot \upsilon ^{2} -8\cdot \upsilon \cdot u+4\cdot u^{2} +3\cdot u^{2} -3\cdot \upsilon ^{2} =0,} \\ {7\cdot u^{2} -8\cdot \upsilon \cdot u+\upsilon ^{2} =0.} \end{array} \]
Решим полученное квадратное уравнение
\[ \begin{array}{l} {D=64\cdot \upsilon ^{2} -28\cdot \upsilon ^{2} =36\cdot \upsilon ^{2} ,{\rm \; \; \; \; }\sqrt{D} =6\cdot \upsilon ,} \\ {u_{1} =\frac{8\cdot \upsilon -6\cdot \upsilon }{14} =\frac{1}{7} \cdot \upsilon ,{\rm \; \; \; \; \; }u_{2} =\frac{8\cdot \upsilon +6\cdot \upsilon }{14} =\upsilon .} \end{array} \]
Второй корень уравнения u2 = υ – не подходит, т.к. после столкновения скорость третьего шара явно должна быть меньше начальной скорости υ. После подстановки в выражение для скорости первого (второго) шаров
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{1} =\upsilon _{2} =\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \left(\upsilon -\frac{1}{7} \cdot \upsilon \right),} \\ {\upsilon _{1} =\upsilon _{2} =\frac{12\cdot \sqrt{3}}{21} \cdot \upsilon .} \end{array} \]
Ответ: скорости шаров после столкновения
\[ \upsilon _{1} =\upsilon _{2} =\frac{12\cdot \sqrt{3} }{21} \cdot \upsilon ,{\rm \; \; \; }u=\frac{1}{7} \cdot \upsilon. \]
Вторая часть задачи: (вообще – это отдельная задача, и более сложная с точки зрения математики). Один из покоящихся шаров убрали, пусть это будет второй шар. При этом картина столкновения будет следующей: первый шар после столкновения будет двигаться под углом 30° к оси X (точка касания шаров при ударе лежит на отрезке, соединяющем центры шаров, т.е. см. первую ситуацию) Третий шар, массой 2M, после столкновения отклонится от первоначального направления движения. Пусть угол его отклонения от оси X равен α. Скорость первого шара после столкновения υ1, третьего (налетающего) после столкновения u.
Запишем закон сохранения импульса,
\[ 2M\cdot \vec{\upsilon }=M\cdot \vec{\upsilon }_{1} +2M\cdot \vec{u}. \]
Для начала спроецируем его на ось Y:
\[ \begin{array}{l} {0=2M\cdot u\cdot \sin \alpha -M\cdot \upsilon _{1} \cdot \sin 30{}^\circ ,} \\ {4\cdot u\cdot \sin \alpha =\upsilon _{1}.} \end{array} \]
Теперь проекция на ось X:
\[ \begin{array}{l} {2M\cdot \upsilon =M\cdot \upsilon _{1} \cdot \cos 30{}^\circ +2M\cdot u\cdot \cos \alpha ,} \\ {4\cdot u\cdot \cos \alpha =4\cdot \upsilon -\upsilon _{1} \cdot \sqrt{3}.} \end{array} \]
Теперь запишем закон сохранения энергии и преобразуем его
\[ \begin{array}{l} {\frac{2M\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\frac{M\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{2M\cdot u^{2} }{2},} \\ {2\cdot \upsilon ^{2} =\upsilon _{1}^{2} +2\cdot u^{2}.} \end{array} \]
Таким образом, мы получили систему трёх уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {4\cdot u\cdot \sin \alpha =\upsilon _{1},} \\ {4\cdot u\cdot \cos \alpha =4\cdot \upsilon -\upsilon _{1} \cdot \sqrt{3} ,} \\ {2\cdot \upsilon ^{2} =\upsilon _{1}^{2} +2\cdot u^{2}.} \end{array}\right. \]
Решим систему, например: первых два уравнения возведём в квадрат и сложим (таким образом, избавимся от синуса и косинуса по основному тригонометрическому тождеству)
\[ \begin{array}{l} {16\cdot u^{2} \cdot \left(\sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha \right)=\upsilon _{1}^{2} +\left(4\cdot \upsilon -\upsilon _{1} \cdot \sqrt{3} \right)^{2},} \\ {16\cdot u^{2} =\upsilon _{1}^{2} +16\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot 4\cdot \upsilon \cdot \upsilon _{1} \cdot \sqrt{3} +3\cdot \upsilon _{1}^{2} ,} \\ {4\cdot u^{2} =\upsilon _{1}^{2} +4\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot \sqrt{3} \cdot \upsilon \cdot \upsilon _{1}.} \end{array} \]
Теперь помножим третье уравнение системы на 2 и получим систему двух уравнений, приравняем их, найдём скорость первого шара
\[ \begin{array}{l} {4\cdot u^{2} =4\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot \upsilon _{1}^{2} ,{\rm \; \; \; \; \; }4\cdot u^{2} =\upsilon _{1}^{2} +4\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot \sqrt{3} \cdot \upsilon \cdot \upsilon _{1},} \\ {\upsilon _{1}^{2} +4\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot \sqrt{3} \cdot \upsilon \cdot \upsilon _{1} =4\cdot \upsilon ^{2} -2\cdot \upsilon _{1}^{2},} \\ {3\cdot \upsilon _{1}^{2} -2\cdot \sqrt{3} \cdot \upsilon \cdot \upsilon _{1} =0,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }3\cdot \upsilon _{1} -2\cdot \sqrt{3} \cdot \upsilon =0,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{2\cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \upsilon .} \end{array} \]
Полученное выражение скорости подставим в третье уравнение системы и найдём скорость третьего шара
\[ \begin{array}{l} {2\cdot \upsilon ^{2} =\left(\frac{2\cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \upsilon \right)^{2} +2\cdot u^{2},} \\ {u=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \upsilon .} \end{array} \]
После подстановки выражений полученных скоростей в первое уравнение системы, определим угол α:
\[ \begin{array}{l} {4\cdot \frac{\sqrt{3} }{3} \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha =\frac{2\cdot \sqrt{3} }{3} \cdot \upsilon ,} \\ {\sin \alpha =\frac{1}{2},{\rm \; \; \; \; \; }\alpha =30{}^\circ .} \end{array} \]
