плотность материала шариков и сила электрического отталкивания

[Антон Огурцевич]

Два одинаковых шарика радиусами по 1,7 см подвешены на шелковых нитях длиной по 0,7 м к одной точке. При сообщении шарикам зарядов по 2,2∙10 ^-5 Кл нити разошлись на угол 90º. Какова плотность материала шариков и сила электрического отталкивания между ними?

[Виктор]

Решение: на шарики действуют силы: T – сила натяжения нити, F – сила кулоновского отталкивания, mg – сила тяжести (см. рис.). Угол α = 45º.
Силу кулоновского отталкивания найдём из закона Кулона, расстояние между зарядами r – по теореме Пифагора
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =l^{2} +l^{2} =2\cdot l^{2},} \\ {F=\frac{k\cdot q^{2} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot l^{2}}.} \end{array} \]
Здесь k = 9 ∙ 10⁹ Н∙м²/Кл², q = 2,2∙10^-5Кл.
Шарики находятся в равновесии: сумма сил равна нулю. В проекциях на систему координат:

Ось X:   F = T∙ sinα,
Ось Y:   mg = T∙ cosα,

Подставим F и r, учтём, что массу шарика можно определить, как произведение плотности на объём (m = ρ∙V), V – объём шара, радиуса R = 1,7 см. Затем разделим уравнения друг на друга
\[ \begin{array}{l} {m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3},} \\ {\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2} \cdot mg} =tg\alpha ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{3\cdot k\cdot q^{2}}{2\cdot l^{2} \cdot \rho \cdot 4\cdot \pi \cdot R^{3} \cdot g} =tg\alpha ,} \\ {\rho =\frac{3\cdot k\cdot q^{2} }{8\cdot \pi \cdot l^{2} \cdot R^{3} \cdot g\cdot tg\alpha }.} \end{array} \]
Ответ: 4,4 Н, 22000 кг/м³ (P.S – хорошая плотность – шарики явно платиновые)