Во сколько раз уменьшится амплитуда?

[Антон Огурцевич]

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время ∆t₁= 1 мин  уменьшилась вдвое.  Во сколько раз уменьшится амплитуда за время ∆t₂ = 4 мин ?

[Евгений Пархоменко]

Амплитуда затухающих колебаний меняется по закону:
\[ A = A_0 e^{ - \beta t\,\,\,(1)}  \]
 
Найдем коэффициент затухания β:
\[  \beta  =  - \frac{1}{t}\ln \frac{{A_1 }}{{A_0 }}\,\,\,\,\,(2) \]

В (2) подставим (1) и произведем расчеты:
\[ \frac{{A_2 }}{{A_0 }} = e^{ - \left( { - \frac{1}{{t_1 }}\ln \frac{{A_1 }}{{A_0 }}} \right)t_2 }  = e^{ - \left( { - \frac{1}{{60}}\ln \frac{1}{2}} \right)240}  = e^{\frac{1}{{60}}\, \cdot \,240\, \cdot \,\ln \frac{1}{2}}  = \left( {e^{\ln ^{\frac{1}{2}} } } \right)^4 \, = \left( {\frac{1}{2}} \right)^4  = \frac{1}{{16}}\,\,\,(3) \]