Отношение кинетической энергии точки к её потенциальной энергии

[Антон Огурцевич]

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса. Найти отношение кинетической энергии Wк точки, к ее потенциальной энергии Wр для моментов времени t = T/12, t = T/8  и t = T/6.

[Сергей]

Решение: Для написания уравнения координаты от времени используем функцию сos. Напишем уравнение координаты:

x = X_m∙соsω∙t,

где: х – координата тела, Х_m – амплитуда, ω – угловая скорость, ω = 2∙π/Т, Т – период колебаний.   
Для нахождения скорости возьмем первую производную по времени от х:     

υ = - ω∙Х_m∙sinω∙t.

Запишем формулу для нахождения кинетической энергии:

\[ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{(-\omega )}^{2}}\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2}. \]

Запишем формулу для нахождения потенциальной энергии:

\[ {{E}_{p}}=\frac{k\cdot {{x}^{2}}}{2},\ {{E}_{p}}=\frac{k\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2}. \]

Учитываем что:

\[ {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}. \]

Найдем отношение кинетической энергии точки, к ее потенциальной энергии:

\[ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=\frac{2\cdot m\cdot {{(-\omega )}^{2}}\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2\cdot k\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t\cdot  \]

\[ t=\frac{T}{12},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{12}=\frac{1}{3,} \]

\[ t=\frac{T}{8},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{8}=1, \]

\[  t=\frac{T}{6},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{6}=3. \]

Ответ: 1/3, 1, 3.