Определить отношение магнитного момента кругового тока к его моменту импульса

[Антон Огурцевич]

Тонкое кольцо массой m = 17 г, радиусом R = 13 см несёт заряд, равномерно распределённый с линейной плотностью τ = 11 Нкл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой ν = 9 с^-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через её центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса.

[Сергей]

Решение.
Магнитный момент найдем по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{P}_{m}}=I\cdot S,\ S=\pi \cdot {{R}^{2}},\ I=\frac{\Delta q}{\Delta t},\ \Delta q=2\cdot \pi \cdot R\cdot \tau ,\  \\
 & {{P}_{m}}=\frac{2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{R}^{3}}\cdot \tau }{\Delta t}\ \ \ (1). \\
\end{align}
 \]

Кольцо вращается с частотой ν и один оборот оно делает за время:

\[ \Delta t=T=\frac{1}{\nu }\ \ \ (2). \]

Подставим (2) в (1) запишем формулу для магнитного момента:

\[ {{P}_{m}}=2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{R}^{3}}\cdot \tau \cdot \nu \ \ \ (3). \]

Момент импульса определим по формуле:

\[ L=J\cdot \omega ,\ J=m\cdot {{R}^{2}},\ \omega =2\cdot \pi \cdot \nu ,\ L=m\cdot {{R}^{2}}\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu \ \ \ (4). \]

Определим отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса:

\[  \frac{{{P}_{m}}}{L}=\frac{2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{R}^{3}}\cdot \tau \cdot \nu }{2\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot m\cdot \nu }=\frac{\pi \cdot R\cdot \tau }{m}. \]

Р_m/L = 0,264∙10^-6 кл/кг.
Ответ: 0,264 мкКл/кг.