Определить расстояние до Земли

[Антон Огурцевич]

Для предметов массой m = 75 тонн, находящихся над экватором и вращающихся вместе с Землёй с одинаковой угловой скоростью, определить расстояние до Земли, когда центробежная сила их будет равна силе притяжения к Земле: Радиус Земли R = 6,367∙ 10⁶ м. Масса Земли M = 5,976∙10²⁴ кг. Гравитационная постоянная G = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По условию задачи центробежная сила равна силе тяжести:

\[ {{F}_{c}}=m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot (R+h),\ m\cdot g=m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot (R+h),\ g={{\omega }^{2}}\cdot (R+h)\ \ \ (1). \]

g – ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли.

\[ g=\frac{G\cdot M}{{{(R+h)}^{2}}}\ \ \ (2). \]

ω – угловая скорость.

\[  \omega =\frac{2\cdot \pi }{T}\ \ \ (3). \]

Т период обращения Земли вокруг оси, Т = 1 сутки. 
Подставим (2) и (3) в (1) выразим расстояние до Земли.

\[ \frac{G\cdot M}{{{(R+h)}^{2}}}=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot (R+h)}{{{T}^{2}}},\ h=\sqrt[3]{\frac{G\cdot M\cdot {{T}^{2}}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}}-R. \]

h = 35,8∙10⁶ м.