Определить силы натяжения нити по обе стороны блока

[Антон Огурцевич]

Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определить силы натяжения T₁ и Т₂ нити по обе стороны блока. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем силы которые действуют на грузы:

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}\ \ \ (1) \\
 & {{m}_{2}}\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{2}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{g} \\
\end{align} \]

Найдем их проекции на ось Y:

\[ \begin{align}
  & -{{m}_{1}}\cdot a=-{{T}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot g\ \ \ (2), \\
 & {{m}_{2}}\cdot a=-{{T}_{2}}+{{m}_{2}}\cdot g\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Разность сил натяжения (Т₁ – Т₂) создает вращательный момент, при отсутствии трения получим уравнение:

\[ {{M}_{B}}=({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R,\ {{M}_{B}}=J\cdot \varepsilon ,\ J\cdot \varepsilon =({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R\ \ \ (4). \]

J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение:

\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (5),\ \varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (6). \]

Подставим (5) в (4):

\[ m\cdot a=2\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\ \ (7). \]

Решим систему уравнений (2) (3) (7).
Из (3) выразим ускорение:

\[ a=g-\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{2}}}\ \ \ (8). \]

Подставим (8 в (2) выразим Т₁:

\[ \begin{align}
  & -{{m}_{1}}\cdot (g-\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{2}}})={{m}_{1}}\cdot g-{{T}_{1}}, \\
 & {{T}_{1}}={{T}_{2}}\cdot \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}-2\cdot {{m}_{1}}\cdot g\ \ \ (9). \\
\end{align} \]

Подставим (8 и (9) подставим в (7) выразим Т₂:

\[ \begin{align}
  & \frac{m}{2}\cdot (g-\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{2}}})={{T}_{2}}\cdot \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}-2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-{{T}_{2}}, \\
 & {{T}_{2}}=\frac{2\cdot {{m}_{1}}\cdot g+\frac{m}{2}\cdot g}{\frac{m}{2\cdot {{m}_{2}}}+\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}-1}. \\
\end{align} \]

Т₂ = 4,58 Н, Т₁ = 3,92 Н.
Ответ: 4,58 Н, 3,92 Н.