Репетиционное тестирование 2 этап 2014/2015

[Сергей]

В2.Вариант 2.
 С вершины наклонной плоскости длиной l =10 м и высотой h = 6,0 м начинает соскальзывать без начальной скорости тело. Если коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью μ = 0,35, то модуль скорости υ тела у основания наклонной плоскости равен … дм/с.
Решение.
 Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a};\ {{\vec{F}}_{mp}}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Х:

\[ -{{F}_{mp}}+m\cdot g\cdot \sin a=m\cdot a\ (1);\ {{F}_{mp}}=\mu \cdot N\ \ \ (2). \]

Найдем проекции на ось Y:

\[ N-m\cdot g\cdot \cos a=0\ \ \ (3). \]

Подставим (3) в (2), а (2) в (1), сократим массу и запишем формулу для ускорения:

\[ a=g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot g\cdot \cos \alpha \ \ \ (4). \]

Учитываем, что:

\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot l}\ \ \ (5),\ sin\alpha =\frac{h}{l}\ \ \ (6),\ \cos \alpha =\frac{\sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{l}\ \ \ (7). \]

Подставим (5),(6)и (7) в (4) и выразим скорость движения тела у основания наклонной плоскости:

\[ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot (h-\mu \cdot \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}})}. \]

υ = 8 м/c.
Ответ: 80 дм/c.

[Сергей]

В3.Вариант 2.
Коэффициент полезного действия двигателя подъемного крана η = 70 %. Груз массой m = 2,1т в течение промежутка времени ∆t = 25 с был поднят краном с поверхности Земли равномерно на высоту h = 50 м. Мощность Р двигателя подъемного крана равна … кВт.
Решение.
Коэффициент полезного действия определяется по формуле:

\[ \eta =\frac{{{A}_{no}}}{{{A}_{}}}\ \ \ (1),\ {{A}_{no}}=m\cdot g\cdot h\ \ \ (2),\ {{A}_{}}=P\cdot \Delta t\ \ \ (3). \]

Подставим (2) в (3) выразим мощность:

\[ P=\frac{m\cdot g\cdot h}{\eta \cdot \Delta t}. \]

Р = 60∙10³ Вт.
Ответ: 60 кВт.

[Сергей]

В4.Вариант 2.
На невесомой нити длиной l = 0,4 м висит небольшая металлическая пластинка массой М = 150 г. Пластилиновый шарик массой m = 50 г, летящий горизонтально и перпендикулярно плоскости пластинки, попадает в ее центр. Если после абсолютно неупругого столкновения шарик и пластинка стал двигаться как единое целое, а нить отклонилась от вертикали на максимальный угол α = 60⁰, то модуль импульса шарика р непосредственно перед столкновением с пластинкой был равен …. кг∙см/с.
Решение.
Рассмотрим процесс столкновения шарика и пластины (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса (рис 1):

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+M)\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Найдем проекции на ось Х:

\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+M)\cdot \upsilon \ \ \ (1). \]

Рассмотрим процесс движения шарика и пластины посте прилипания шарика к пластине.
Запишем закон сохранения энергии (рис 2):

\[ \frac{(m+M)\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=(m+M)\cdot g\cdot h\ \ \ (2). \]

Высоту h определим как (рис 2):

\[ \frac{l-h}{l}=\cos \alpha ,\ h=l(1-\cos \alpha )\ \ \ (3). \]

Подставим (3) в (2), из (2) выразим υ и подставим в (1), из (1) выразим скорость шарика:

\[ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot l(1-\cos \alpha )}.\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{(m+M)\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}}{m}\ \ \ (4). \]

Зная скорость шарика определим его импульс в момент непосредственно перед столкновением с пластинкой.

\[ p=m\cdot {{\upsilon }_{1}},\ p=(m+M)\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}\ . \]

р = 0,40 кг∙м/с = 40 кг∙см/с.
Ответ: 40 кг∙см/с.

[Сергей]

В5.Вариант 2.
 Сосуд разделен тонкими закрепленными перегородками на три части, объемы которых V₁ = 1,60 л, V₂ = 2,40 л, V₃ = 3,00 л. В каждой части сосуда находится одинаковый идеальный газ при равной температуре и давлениях р₀₁ = 240 кПа, р₀₂ = 180 кПа, р₀₃ = 120 кПа соответственно. Если после удаления перегородок температура газа осталась неизменной, то в сосуде установилось давление р равное … кПа.
Решение.
Для решения задачи используем закон Дальтона:

р = р₁ + р₂ + р₃   (1).

р₁, р₂, р₃ – парциальные давления газов после удаления перегородок.
По условию задачи Т = соnst, газ идеальный.

\[ \begin{align}
  & {{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}={{p}_{1}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{1}}=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (2),{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}={{p}_{2}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{2}}=\frac{{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (3), \\
 & {{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}={{p}_{3}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{3}}=\frac{{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (4),p=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}+\frac{{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}+\frac{{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}, \\
 & p=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}+{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}+{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}. \\
\end{align} \]

р = 168∙10³ Па.
Ответ: 168 кПа.

[Сергей]

В6.Вариант 2.
Два однородных серебряных шара (с = 250 Дж/кг∙⁰С) одинаковой массы движутся навстречу друг другу по гладкой горизонтальной поверхности вдоль оси Ох. Модули скоростей шаров υ₁ = 0,6∙10² м/с и υ₂ = 0,4∙10² м/с. Если после взаимодействия шары движутся как единое целое, а потерей теплоты в окружающую среду пренебречь, то изменение температуры ∆t этих шаров равно ... ⁰С. 
Решение.
В данной задаче рассматривается столкновение двух тел. Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом. При столкновении двух тел выполняется закон сохранения и превращения энергии и он выполняется в системе с законом сохранения импульса. 
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Находим проекции на ось х:

\[  \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\  \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ ,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}=m,\ \upsilon =\frac{m\cdot ({{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}})}{2\cdot m}=\ \frac{({{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}})}{2}\ \ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Запишем закон сохранения и превращения энергии:

\[ \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+Q\ \ \ (3).\ Q=c\cdot 2\cdot m\cdot \Delta t\ \ \ (4). \\
 & \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{\upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{2\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+c\cdot 2\cdot \Delta t\ ,\ \Delta t=\frac{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}-2\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{4\cdot c},\Delta t=\frac{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}-\frac{{{({{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}})}^{2}}}{2}}{4\cdot c}. \\
\end{align} \]

∆t = 5 ⁰С.
Ответ: 5 ⁰С.

[Сергей]

В7.Вариант 2.
 Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (см. рис), причем р₁ = 0,40 МПа. ∆V = V₂ – V₁ = 2,1 л. Если при изотермическом расширении газ совершил работу А₂₃ = 1,24 кДж, то коэффициент полезного действия цикла равен…%.
Решение.
КПД цикла равно отношению полезной работы к количеству теплоты полученному от нагревателя:

\[ \eta =\frac{A}{{{Q}_{1}}}\ \ \ (1). \]

При изотермическом процессе Т₂ = Т₃:

Q₂₃ = А₂₃   (2).

А₂₃ - работа рабочего вещества при изотермическом расширении.
А - работа газа за цикл:

А = А₂₃ – │А₁₃│   (3).

А₁₃ = р₁∙(V₁ – V₂) = ν∙R∙(Т₁ – Т₃)   (4).

А = А₂₃ – р₁∙∆V    (5).

Q₁ – количество теплоты которое получает газ от нагревателя.
Газ получает теплоту на участке 1 →2 и 2 → 3, так как Т₂ > Т₁.

Q₁ = Q₁₂ + Q₂₃   (6). 

Участок 1 → 2 – изохорный процесс:

\[ {{Q}_{12}}=\Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ \ \ (7). \]

Из (4) выразим (Т₂ – Т₁) и подставим в (7), (7) и (2) подставим в (6), (6) и (5) подставим в (1) определим К.П.Д. цикла.

\[ \begin{align}
  & ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})=\frac{{{A}_{13}}}{\nu \cdot R},\ {{Q}_{1}}=\frac{3}{2}\left| {{A}_{13}} \right|+{{A}_{23}}. \\
 & \eta =\frac{{{A}_{23}}-{{p}_{1}}\cdot \Delta V}{\frac{3}{2}\left| {{A}_{13}} \right|+{{A}_{23}}}. \\
\end{align}
 \]

η = 0,16.
Ответ: 16 %.

[Сергей]

В 8. Вариант 2.
 Ядра радиоактивного изотопа калия ₁₉⁴⁴K, начальная масса которого m₀ = 55 мг, испытывают электронный β распад в течение промежутка времени t = 44,0 мин. Если модуль суммарного заряда электронов, испускаемых при β распаде ядрами калия q = 90,3 Кл, то период полураспада Т_1/2 изотопа калия равен ... мин.
Решение.
Определим количество ядер калия в начальный момент наблюдения.

\[ {{N}_{0}}=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}\ \ \ (1). \]

М – малярная масса, М = 44∙10^-3 кг/моль. N_А – постоянная Авогадро, N_А = 6,02∙10^-23 моль^-1.
N₀ – количество ядер калия в начальный момент наблюдения.
Определим количество распавшихся ядер калия.

\[ q=\Delta N\cdot \left| e \right|\ ,\ \Delta N=\frac{q}{\left| e \right|}\ \ \ (2). \]

е = -1,6∙10^-19 Кл, е – заряд электрона.
Определим количество ядер калия которые остались через время t:

\[ N={{N}_{0}}-\Delta N,\ N=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|}\ \ \ (3). \]

Применим закон радиоактивного распада:

\[ N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},\ (\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})=(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})\cdot {{2}^{-\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},{{\log }_{2}}\frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})}=-\frac{t}{{{T}_{1/2}}},\ {{T}_{1/2}}=-\frac{t}{lo{{g}_{2}}\frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})}}. \]

\[ \frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})}=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}},\ {{2}^{2}}={{2}^{\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},\ {{T}_{1/2}}=\frac{t}{2}. \]

Т_1/2 = 22 мин.
Ответ: 22 мин.

[Сергей]

В 9. Вариант 2.
Два неподвижных точечных заряда q₁ = -40,0 мкКл и q₂ = 10,0 мкКл находятся в вакууме (см. рис). Модуль напряженности Е результирующего электростатического поля в точке А, находящейся на расстоянии r₁ = 6,0 см от первого заряда и на расстоянии r₂ = 3,0 см от второго заряда, равен… МВ/м.
Решение.
Найдем напряженность поля в точке А (рис). Если поле создано положительным зарядом то напряженность в точке направлена от заряда. Если поле создано отрицательным зарядом то напряженность в точке направлена к заряду.

\[ \vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}},\ oX:\ E={{E}_{1}}+{{E}_{2}},{{E}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{r}_{1}}^{2}},\ {{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}_{2}}^{2}},E=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{r}_{1}}^{2}}+\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}_{2}}^{2}}. \]

Е₁ = 10⁸ В/м, Е₂ = 10⁸ В/М, Е = 2∙10⁸ В/м,
Ответ: 200 МВ/м.

[Сергей]

В 10. Вариант 2.
 Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с ЭДС  ℰ  = 6 В и внутренним сопротивлением  r  = 2 Ом, трех одинаковых резисторов сопротивлением R = 20 Ом каждый и конденсатора емкостью С = 1 мкФ (см. рис.). После замыкания ключа и установления постоянной силы тока в резисторах, заряд q конденсатора будет равен ... мкКл.
Решение.
Рассмотрим схему. Через резистор который последовательно соединен с конденсатором ток не идет. Для определения заряда на конденсаторе необходимо найти напряжение на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на внешнем сопротивлении. Внешнее сопротивление равно сопротивлению двух резисторов включённых параллельно.

\[ {{R}_{B}}=\frac{R}{2},\ I=\frac{\xi }{\frac{R}{2}+r},\ U={{U}_{C}}=\frac{R}{2}\cdot \frac{\xi }{\frac{R}{2}+r},\ q=C\cdot {{U}_{C}}=C\cdot \frac{R}{2}\cdot \frac{\xi }{\frac{R}{2}+r}. \]

q = 5∙10^-6 Ф.
Ответ: 5 мкФ.

[Сергей]

В 11. Вариант 2.
Резистор, сопротивление которого постоянно и равно R = 10,0 Ом, включен в цепь переменного тока. Если сила тока в цепи изменяется с течением времени по закону I(t) = I₀∙sinω∙t, где I₀ = 10,0 А, то за промежуток времени ∆t = 10,0 мин в резисторе выделится количество теплоты Q, равное…кДж.
Решение.
Среднее значение мощности переменного электрического тока за продолжительный промежуток времени определяется по формуле:

\[ P=\frac{{{U}_{0}}\cdot {{I}_{0}}}{2}=\frac{I_{0}^{2}\cdot R}{2}\ \ \ (1). \]

Количество теплоты которое выделится в резисторе будет равно:

\[ Q=P\cdot \Delta t=\frac{I_{0}^{2}\cdot R}{2}\cdot \Delta t. \]

Q = 300∙10³ Дж.
Ответ: 300 кДж.