Репетиционное тестирование 2 этап 2014/2015

[Сергей]

В2.Вариант 1.
Тело массой m = 1,2 кг движется вверх по наклонной плоскости, образующей угол α = 30⁰ с горизонтом под действием силы, модуль которой F = 12 Н, направленной вверх вдоль плоскости. Если коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью μ = 0,30, то модуль ускорения а, с которым движется тело равен ... дм/с².
Решение.
 Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[  \vec{F}=m\cdot \vec{a};\ {{\vec{F}}_{mp}}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Х:

\[ -{{F}_{mp}}-m\cdot g\cdot \sin a+F=m\cdot a\ (1);\ {{F}_{mp}}=\mu \cdot N\ \ \ (2). \]

Найдем проекции на ось Y:

\[ N-m\cdot g\cdot \cos a=0\ \ \ (3). \]

Подставим (3) в (2), а (2) в (1), выразим ускорения:

\[ a=\frac{-m\cdot g\cdot \sin \alpha -m\cdot \mu \cdot g\cdot \cos \alpha +F\ }{m}\ \ \ (4). \]

а = 24 дм/c².
Ответ: 24 дм/c².

[Сергей]

В3.Вариант 1.
Самолет, мощность двигателей которого Р = 30 МВт, пролетел равномерно и прямолинейно путь s = 480 км за промежуток времени t = 40 мин. Если модуль силы тяги двигателей F = 48 кН, то коэффициент полезного действия двигателей самолета равен ... %.
Решение.
Коэффициент полезного действия определяется по формуле, учитываем, что самолет летит равномерно и прямолинейно:

\[ \eta =\frac{{{A}_{no}}}{{{A}_{{}}}}\ \ \ (1),\ {{A}_{no}}=F\cdot \upsilon \cdot t,\ \upsilon =\frac{s}{t}\ ,\ {{A}_{no}}=F\cdot s\ \ (2),\ {{A}_{{}}}=P\cdot \Delta t\ \ \ (3). \]

Подставим (2) в (3) определим коэффициент полезного действия двигателей самолета:

\[ \eta =\frac{F\cdot s}{P\cdot \Delta t}. \]

η = 32 %.
Ответ: 32 %.

[Сергей]

В4.Вариант 1.
На невесомой нерастяжимой нити длиной l = 0,9 м висит небольшая металлическая пластинка массой М = 190 г. Пластилиновый шарик массой m = 10 г, летящий горизонтально и перпендикулярно плоскости пластинки, попадает в ее центр. Если после абсолютно неупругого столкновения шарик и пластинка стали двигаться как единое целое, а нить отклонилась от вертикали на максимальный угол α = 60⁰, то модуль импульса шарика р непосредственно перед столкновением с пластинкой был равен ... (кг см)/с.
Решение.
Рассмотрим процесс столкновения шарика и пластины (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса (рис 1):

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+M)\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Найдем проекции на ось Х:

\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+M)\cdot \upsilon \ \ \ (1). \]

Рассмотрим процесс движения шарика и пластины после прилипания шарика к пластине.
Запишем закон сохранения энергии (рис 2):

\[ \frac{(m+M)\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=(m+M)\cdot g\cdot h\ \ \ (2). \]

Высоту h определим как (рис 2):

\[  \frac{l-h}{l}=\cos \alpha ,\ h=l(1-\cos \alpha )\ \ \ (3). \]

Подставим (3) в (2), из (2) выразим υ и подставим в (1), из (1) выразим скорость шарика:

\[ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot l(1-\cos \alpha )}.\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{(m+M)\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}}{m}\ \ \ (4). \]

Зная скорость шарика определим его импульс в момент непосредственно перед столкновением с пластинкой.

\[ p=m\cdot {{\upsilon }_{1}},\ p=(m+M)\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}\ . \]

р = 0,6 кг∙м/с = 60,0 кг∙см/с .
Ответ: 60 кг∙см/с.

[Сергей]

В5.Вариант 1.
Сосуд разделен тонкими закрепленными перегородками на три части, объемы которых V₁= 1,00 л, V₂ = 2,00 л, V₃ = 5,00 л. В каждой части сосуда находится одинаковый идеальный газ при равной температуре и давлениях p₀₁= 200 кПа, р₀₂ = 150 кПа, р₀₃ = 100 кПа соответственно Если после удаления перегородок температура газа осталась неизменной, то в сосуде установилось давление р, равное ... кПа.
Решение.
Для решения задачи используем закон Дальтона:

р = р₁ + р₂ + р₃   (1).

р₁, р₂, р₃ – парциальные давления газов после удаления перегородок.
По условию задачи Т = соnst, газ идеальный.

\[ \begin{align}
  & {{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}={{p}_{1}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{1}}=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (2),{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}={{p}_{2}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{2}}=\frac{{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (3), \\
 & {{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}={{p}_{3}}\cdot ({{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}),\ {{p}_{3}}=\frac{{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\ \ \ (4),p=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}+\frac{{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}+\frac{{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}, \\
 & p=\frac{{{p}_{01}}\cdot {{V}_{1}}+{{p}_{02}}\cdot {{V}_{2}}+{{p}_{03}}\cdot {{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}. \\
\end{align} \]

р = 1,25∙10⁵ Па.
 Ответ: 125 кПа.

[Сергей]

В6.Вариант 1.
Два однородных серебряных шара (с = 250 Дж/(кг∙⁰С)) одинаковой массы движутся навстречу друг другу по гладкой горизонтальной поверхности вдоль оси Ох. Модули скоростей шаров υ₁= 0,4∙10²м/с и υ₂ = 0,5∙10² м/с. Если после взаимодействия шары движутся как единое целое, а потерей теплоты в окружающую среду пренебречь, то изменение температуры t этих шаров равно ... ⁰С.
Решение.
В данной задаче рассматривается столкновение двух тел. Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом. При столкновении двух тел выполняется закон сохранения и превращения энергии и он выполняется в системе с законом сохранения импульса. 
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Находим проекции на ось х:

\[  \begin{align}
  & {{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\  \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ ,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}=m,\ \upsilon =\frac{m\cdot ({{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}})}{2\cdot m}=\ \frac{({{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}})}{2}\ \ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Запишем закон сохранения и превращения энергии:

\[ \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+Q\ \ \ (3).\ Q=c\cdot 2\cdot m\cdot \Delta t\ \ \ (4). \\
 & \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{\upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{2\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+c\cdot 2\cdot \Delta t\ ,\ \Delta t=\frac{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}-2\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{4\cdot c},\Delta t=\frac{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}-\frac{{{({{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}})}^{2}}}{2}}{4\cdot c}. \\
\end{align} \]

∆t = 4 ⁰С.
Ответ: 4 ⁰С.

[Сергей]

В7.Вариант 1.
Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (см. рис.), причем ∆V = V₂ - V₁ = 10л, а коэффициент полезного действия цикла η = 20%. Если при изотермическом расширении газ совершил работу A = 1,3 кДж, то начальное давление p₁ газа равно ... кПа.
Решение.
КПД цикла равно отношению полезной работы к количеству теплоты полученному от нагревателя:

\[ \eta =\frac{{{A}_{1}}}{{{Q}_{1}}}\ \ \ (1). \]

При изотермическом процессе Т₂ = Т₃:

Q₂₃ = А= А₂₃   (2).

А₂₃ - работа рабочего вещества при изотермическом расширении.
А₁ - работа газа за цикл:

А₁ = А₂₃ – │А₁₃│   (3).

А₁₃ = р₁∙(V₁ – V₂) = ν∙R∙(Т₁ – Т₃)   (4).

А₁ = А₂₃ – р₁∙∆V    (5).

Q₁ – количество теплоты которое получает газ от нагревателя.
Газ получает теплоту на участке 1 →2 и 2 → 3, так как Т₂ > Т₁, Т₂ = Т₃.

Q₁ = Q₁₂ + Q₂₃   (6). 

Участок 1 → 2 – изохорный процесс:

\[ {{Q}_{12}}=\Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ \ \ (7). \]

Из (4) выразим (Т₂ – Т₁) и подставим в (7), (7) и (2) подставим в (6), (6) и (5) подставим в (1) определим начальное давление p₁ газа:

\[ \begin{align}
  & ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})=\frac{{{A}_{13}}}{\nu \cdot R},\ ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})=\frac{{{p}_{1}}\cdot \Delta V}{\nu \cdot R},{{Q}_{1}}=\frac{3}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot \Delta V+{{A}_{23}}. \\
 & =\frac{{{A}_{23}}-{{p}_{1}}\cdot \Delta V}{\frac{3}{2}{{p}_{1}}\cdot \Delta V+{{A}_{23}}},\ {{p}_{1}}=\frac{A\cdot (1-\eta )}{(\frac{3}{2}\cdot \eta +1)\cdot \Delta V}. \\
\end{align} \]

р1 = 0,8∙10⁵ Па.
Ответ: 80 кПа.

[Сергей]

В8.Вариант 1.
Ядра радиоактивного изотопа калия ₁₉⁴⁴K, начальная масса которого m₀ = 44 мг, испытывают электронный β^- - распад.  Период полураспада изотопа калия Т_1/2 = 22 мин. Если модуль суммарного заряда электронов, испускаемых при β^- - распаде ядрами калия q = 90,3 Кл, то распад изотопа калия происходил в течение промежутка времени t, равного ... мин.
Решение.
Определим количество ядер калия в начальный момент наблюдения.

\[ {{N}_{0}}=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}\ \ \ (1). \]

М – малярная масса, М = 44∙10^-3 кг/моль. N_А – постоянная Авогадро, N_А = 6,02∙10^-23 моль^-1.
N₀ – количество ядер калия в начальный момент наблюдения.
Определим количество распавшихся ядер калия.

\[ q=\Delta N\cdot \left| e \right|\ ,\ \Delta N=\frac{q}{\left| e \right|}\ \ \ (2). \]

е = -1,6∙10^-19 Кл, е – заряд электрона.
Определим количество ядер калия которые остались через время t:

\[ N={{N}_{0}}-\Delta N,\ N=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|}\ \ \ (3). \]

Применим закон радиоактивного распада:

\[ \begin{align}
  & N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},\ (\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})=(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})\cdot {{2}^{-\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},{{\log }_{2}}\frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})}=-\frac{t}{{{T}_{1/2}}},\  \\
 & -{{T}_{1/2}}\cdot (lo{{g}_{2}}\frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})})=t. \\
\end{align} \]

\[ \frac{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}-\frac{q}{\left| e \right|})}{(\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}})}=\frac{1}{16}=\frac{1}{{{2}^{4}}},\ {{2}^{4}}={{2}^{\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}},\ t=4\cdot {{T}_{1/2}}. \]

t = 88 мин.
 Ответ: 88 мин.

[Сергей]

В9.Вариант 1.
Два неподвижных точечных заряда q₁= -40 мкКл и q₂ = 10 мкКл находятся в вакууме (см.  рис. 1). Модуль напряженности Е результирующего электростатического поля в точке А, находящейся на расстоянии r₁= 12 см от первого заряда и на расстоянии r₂ = 3,0 см от второго заряда, равен ... МВ/м.
Решение.
Найдем напряженность поля в точке А (рис. 2). Если поле создано положительным зарядом то напряженность в точке направлена от заряда. Если поле создано отрицательным зарядом то напряженность в точке направлена к заряду

\[ \vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}},\ oX:\ E={{E}_{2}}-{{E}_{1}},{{E}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{r}_{1}}^{2}},\ {{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}_{2}}^{2}},E=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}_{2}}^{2}}-\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{r}_{1}}^{2}}. \]

Е₁ = 25∙10⁶ В/м, Е₂ = 100∙10⁶ В/М, Е = 75∙10⁶ В/м,
Ответ: 75 МВ/м.

[Сергей]

В10.Вариант 1.
Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с ЭДС ℰ = 12 В и внутренним сопротивлением r = 1,0 Ом, двух резисторов сопротивлениями R₁ = 6,0 Ом, R₂ = 5,0 Ом и конденсатора емкостью С = 5,0 мкФ (см. рис.). После замыкания ключа и установления постоянной силы тока в резисторах, заряд q конденсатора будет равен ... мкКл.
Решение.
Рассмотрим схему. Через конденсатор ток не идет. Для определения заряда на конденсаторе необходимо найти напряжение на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на сопротивлении R₁ с которым конденсатор соединен параллельно. Определим напряжение на резисторе R₁. Резисторы соединены последовательно.

\[ {{R}_{B}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}},\ I=\frac{\xi }{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+r},\ U={{U}_{C}}={{R}_{1}}\cdot \frac{\xi }{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+r},\ q=C\cdot {{U}_{C}}=C\cdot {{R}_{1}}\cdot \frac{\xi }{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+r}. \]

q = 30∙10^-6 Ф.
Ответ: 30 мкФ.

[Сергей]

В11.Вариант 1.
Сила тока в резисторе, включенном в цепь переменного тока, изменяется с течением времени по закону I(t) = I₀∙sinω∙t.  Действующее значение напряжения на резисторе U_д = 20 В. Если в момент времени t₁ при фазе колебаний электрического тока φ = ω∙t = π/4 мгновенное значение силы тока в цепи I(t₁) = 2,0 А, то средняя мощность <Р>, выделяемая в резисторе, равна ... Вт.
Решение.
Среднее значение мощности переменного электрического тока за продолжительный промежуток времени определяется по формуле:

\[ P=\frac{{{U}_{0}}\cdot {{I}_{0}}}{2},\ {{U}_{0}}=\sqrt{2}\cdot {{U}_{d}},\ P=\frac{\sqrt{2}\cdot {{U}_{d}}\cdot {{I}_{0}}}{2}\ \ \ (1). \]

Амплитудное значение силы переменного тока определим по формуле:

\[ {{I}_{0}}=\frac{I({{t}_{1}})}{\sin \omega \cdot t}=\frac{I({{t}_{1}})}{\sin \frac{\pi }{4}},\ P=\frac{\sqrt{2}\cdot {{U}_{d}}\cdot I({{t}_{1}})}{2\cdot \sin \frac{\pi }{4}}\ . \]

Р = 40,0 Вт.
Ответ: 40 Вт.