Равносторонний треугольник

[Антон Огурцевич]

Три одинаковых точечных заряда q₁ = q₂ = q₃ = 5 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Сторона равностороннего треугольника a = 1 мм (длина стороны треугольника a = 1 мм).
1) Найти энергию взаимодействия зарядов W_p-?
2) Найти потенциал поля φ_0 в центре треугольника?
3) Какой заряд q₀ необходимо поместить в точку О, чтобы система зарядов находилась в равновесии.

[Сергей]

Решение. 
Определим энергию взаимодействия зарядов.

\[ \begin{align}
  & W={{W}_{12}}+{{W}_{23}}+{{W}_{13}},\ {{W}_{12}}=\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{a},\ {{W}_{23}}=\frac{k\cdot {{q}_{2}}\cdot {{q}_{3}}}{a},\ {{W}_{13}}=\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{3}}}{a}, \\
 & {{q}_{1}}={{q}_{2}}={{q}_{3}},{{W}_{12}}={{W}_{23}}={{W}_{13}}\ ,\ W=\frac{3\cdot k\cdot {{q}^{2}}}{a}. \\
\end{align} \]

W = 6,75∙10^-4 Дж.
Найдем потенциал поля φ в центре треугольника. Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника определяется по формуле:

\[  \begin{align}
  & r=\frac{a}{\sqrt{3}}\ \ \ (1). \\
 & \varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}+{{\varphi }_{3}},\ {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}={{\varphi }_{3}},\ \varphi =3\cdot {{\varphi }_{1}} \\
 & {{\varphi }_{1}}=\frac{k\cdot q}{r},\ {{\varphi }_{1}}=\frac{k\cdot q\cdot \sqrt{3}}{a},\ \varphi =\frac{3\cdot k\cdot q\cdot \sqrt{3}}{a}. \\
\end{align} \]

φ = 2,33∙10⁵ В.
Определим какой заряд q₀ необходимо поместить в точку О, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Система будет находится в равновесии когда равнодействующая сила которая действует на заряд который находится в вершине треугольника равна нулю. Покажем рисунок.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{F}}}_{12}}+{{{\vec{F}}}_{13}}+{{{\vec{F}}}_{10}}=0\ \ \ (1). \\
 & {{{\vec{F}}}_{12}}+{{{\vec{F}}}_{13}}={{{\vec{F}}}_{23}}. \\
\end{align} \]

Для нахождения равнодействующей силы F₂₃ используем теорему косинусов:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{23}}^{2}=F_{12}^{2}+F_{13}^{2}+2\cdot {{F}_{12}}\cdot {{F}_{13}}\cdot \cos \alpha ,\ \alpha =60{}^\circ , \\
 & \ {{F}_{23}}=\sqrt{F_{12}^{2}+F_{13}^{2}+2\cdot {{F}_{12}}\cdot {{F}_{13}}\cdot \frac{1}{2}}\ \ , \\
 & {{F}_{12}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{a}^{2}}},\ {{F}_{13}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{a}^{2}}}, \\
 & \ {{F}_{23}}=\frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot {{q}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

\[ {{F}_{23}}={{F}_{10}},\ \frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot {{q}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{0}} \right|\cdot q\cdot 3}{{{a}^{2}}},\ {{q}_{0}}=-\frac{q}{\sqrt{3}}. \]

k = 9∙10⁹ Н∙м² / Кл².
 q₀ = -2,89∙10^-9 Кл.