Заряженная частица

[Антон Огурцевич]

Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов ∆φ = 100 В и, влетев в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, стала двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5 см и радиусом R = 1 см. Вычислите удельный заряд частицы. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов, определим скорость которую будет иметь частица при влете в однородное магнитное поле:

\[ \begin{align}
  & \Delta \varphi =\frac{A}{q},\ A=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ \Delta \varphi =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{q\cdot 2}, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

В результате суперпозиции двух движений заряженная частица будет двигаться по винтовой линии радиусом R и шагом винта h. Скорость разложим на две составляющие: υ_Y, параллельную линиям индукции магнитного поля и, υ_х перпендикулярную им:

\[ {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{X}^{2}+\upsilon _{Y}^{2}\ \ \ (2). \]

На заряженную частицу действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, выразим скорость частицы относительно оси оХ.

\[ \begin{align}
  & {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot {{\upsilon }_{x}},\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{\upsilon _{x}^{2}}{R},q\cdot B\cdot \upsilon \ =m\cdot \frac{\upsilon _{x}^{2}}{R}, \\
 & {{\upsilon }_{x}}=\frac{q\cdot B\cdot R}{m}\ \ \ (3). \\
\end{align}
 \]

Из этих формул также получаем формулу радиуса заряженной частицы и время одного оборота:

\[ R=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{x}}}{q\cdot B},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{{{\upsilon }_{x}}},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot m}{q\cdot B}\ \ \ (4). \]

Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью.

\[ {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h}{T},\ {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m}\ \ \ (5). \]

(1) (3) и (5) подставим в (1) выразим удельный заряд заряженной частицы.

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }^{2}}={{(\frac{q\cdot B\cdot R}{m})}^{2}}+{{(\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m})}^{2}},\ \frac{2\cdot q\cdot \Delta \varphi }{m}={{(\frac{q\cdot B\cdot R}{m})}^{2}}+{{(\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m})}^{2}}, \\
 & 2\cdot \Delta \varphi =\frac{q}{m}\cdot ({{(B\cdot R)}^{2}}+{{(\frac{h\cdot B}{2\cdot \pi })}^{2}}),\ \frac{q}{m}=\frac{2\cdot \Delta \varphi }{{{(B\cdot R)}^{2}}+{{(\frac{h\cdot B}{2\cdot \pi })}^{2}}}. \\
\end{align} \]

q/m = 9,31∙10⁷ Кл/кг.