Решение.
Определим наименьшую высоту, с которой тело должно начать движение, чтобы оно, не выпадая, сделало полный оборот. Рассмотрим точки 1 и 2 (рис). Запишем закон сохранения энергии для точек 1 и 2.
\[ m\cdot g\cdot H=m\cdot g\cdot 2\cdot R+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ H=2\cdot R+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g}\ \ \ (1). \]
Высота будет наименьшая если в точке 2 сила реакции опоры будет равна нулю. Покажем силы которые действуют на тело в точке 2 и ускорение, найдем проекции на ось
Y, и выразим скорость.
\[ m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ Y:\ m\cdot g=m\cdot a,\ g=a,\ g=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ {{\upsilon }^{2}}=g\cdot R\ \ \ (2). \]
Подставим (2) в (1) определим минимальную высоту, с которой тело должно начать движение, чтобы оно, не выпадая, сделало полный оборот.
\[ m\cdot H=2\cdot R+\frac{g\cdot R}{2\cdot g},\ H=2,5\cdot R\ \ \ (3). \]
Н = 1,5 м.
Определим с какой силой тело давит на “петлю” в точке, направление на которую из центра траектории составляет с вертикальную угол 40°. Рассмотрим точки 1 и 3 (рис). Запишем закон сохранения энергии для точек 1 и 3.
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot H=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ H=h+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g}\ \ \ (4). \\
& \frac{R-h}{R}=\cos 40{}^\circ ,\ h=R\cdot (1-\cos 40{}^\circ ), \\
& {{\upsilon }^{2}}=2\cdot g\cdot (H-R\cdot (1-\cos 40{}^\circ ))\ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Покажем силы которые действуют на тело в точке 3 и ускорение, найдем проекции на ось
Y, и выразим силу реакции опоры.
\[ \begin{align}
& m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a},\ Y:\ N-m\cdot g\cdot \cos 40{}^\circ =m\cdot a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ \\
& N=m\cdot (g\cdot \cos 40{}^\circ +\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R})\ \ \ (6). \\
& N=m\cdot (g\cdot \cos 40{}^\circ +\frac{2\cdot g\cdot (H-R\cdot (1-\cos 40{}^\circ ))}{R})\ . \\
\end{align} \]
соs40° = 0,766.
N = 21,2 Н.
