Гелий, находящийся в состоянии

[Антон Огурцевич]

Гелий, находящийся в состоянии 1 (p₁= 310 кПа, T₁= 400 К, V₁= 10 л), перевели в состояние 2, адиабатно увеличив давление в два раза. Затем изотермически объём газа был увеличен на 6 литров. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершённую газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведённой к газу теплоты. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок.
1→ 2 – адиабатный процесс.
Запишем уравнение адиабаты:

р∙V^k = соnt    (1).

k – показатель адиабаты,

\[ k=\frac{i+2}{i}\ \ \ (2). \]

Гелий одноатомный газ, i = 3, для одноатомных газов k = 1,67.
Определим V₂ :

\[ \begin{align}
  & {{p}_{1}}\cdot V_{1}^{1,67}={{p}_{2}}\cdot V_{2}^{1,67},\ \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}={{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{1,67}}\ ,\ {{V}_{2}}=\frac{{{V}_{1}}}{\sqrt[1,67]{\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}}}\ , \\
 & \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=2,\ \ {{V}_{2}}=\frac{{{V}_{1}}}{\sqrt[1,67]{2}}\ (3). \\
\end{align} \]

V₂ = 6,6∙10^-3 м³.
Определим температуру T₂ после расширения:

\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}\cdot p_{1}^{\frac{1-k}{k}}={{T}_{2}}\cdot p_{2}^{\frac{1-k}{k}},\ {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{(\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}})}^{\frac{1-k}{k}}},\ {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{(\frac{1}{2})}^{\frac{1-1,67}{1,67}}}, \\
 & {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{2}^{0,4}}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Т₂ = 527,8 К. р₂ = 620 кПа.
Q₁₂ = 0.
Работа, совершённая газом при адиабатном процессе определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & A=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{k-1}\cdot (1-{{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{k-1}})\ \ \ (5). \\
 & \Delta U=-A\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

А₁₂ =-1485,22 Дж. Газ сжимают, работа отрицательная.
∆U₁₂ =1485,22 Дж.
2→ 3 – изотермический процесс.
Т₃ = 527,8 К. V₃ = V₂ + 6∙10^-3 м³ = 12,6∙10^-3 м³.

\[ {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}={{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}},\ {{p}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{3}}}\ \ \ (6). \]

р₃ = 324,76 кПа.
∆U₂₃ = 0.

А₂₃ = Q₂₃   (7).

Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:

\[ A=\int\limits_{{{V}_{2}}}^{{{V}_{3}}}{pdV.} \]

Получим:

\[ A={{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\int\limits_{{{V}_{2}}}^{{{V}_{3}}}{\frac{dV}{V}}={{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\cdot \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}}. \]

А = 2645,8 Дж.