К батарее из 3 одинаковых параллельно соединённых источников тока

[Антон Огурцевич]

К батарее из 3 одинаковых параллельно соединённых источников тока подключают один раз резистор сопротивлением 1 Ом, другой раз - 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и тоже время выделятся одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока. Сделать рисунок.

[alsak]

Для расчета количества теплоты, выделяемых на резисторах, будем использовать следующие формулы:
\[I=\frac{E}{R+r} ,\; \; Q=I^{2} \cdot R\cdot \Delta t=\left(\frac{E}{R+r} \right)^{2} \cdot R\cdot \Delta t,\; \; \; (1)\]
где r — сопротивление всех трех источников, соединенных параллельно.
Запишем формулу (1) для резистора с сопротивлением R₁ = 1 Ом и для R₂ = 4 Ом. Затем учтем, что по условию, в обоих случаях на резисторах за одно и тоже время выделятся одинаковое количество теплоты.
\[\begin{array}{c} {Q_{1} =\left(\frac{E}{R_{1} +r} \right)^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t,\; \; Q_{2} =\left(\frac{E}{R_{2} +r} \right)^{2} \cdot R_{2} \cdot \Delta t,} \\ {} \\ {\left(\frac{E}{R_{1} +r} \right)^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t=\left(\frac{E}{R_{2} +r} \right)^{2} \cdot R_{2} \cdot \Delta t,\; \; \frac{R_{1} }{\left(R_{1} +r\right)^{2} } =\frac{R_{2} }{\left(R_{2} +r\right)^{2} } ,} \\ {} \\ {\left(R_{1} +r\right)^{2} \cdot R_{2} -R_{1} \cdot \left(R_{2} +r\right)^{2} =0,} \\ {} \\ {R_{1}^{2} \cdot R_{2} +2r\cdot R_{1} \cdot R_{2} +r^{2} \cdot R_{2} -R_{2}^{2} \cdot R_{1} -2r\cdot R_{1} \cdot R_{2} -r^{2} \cdot R_{1} =0,} \\ {} \\ {r^{2} \cdot \left(R_{2} -R_{1} \right)=R_{1} \cdot R_{2} \cdot \left(R_{2} -R_{1} \right),\; \; r=\sqrt{R_{1} \cdot R_{2} } .} \end{array}\]
Так как источники соединены параллельно, то сопротивление одного источника можно найти так:
\[r=\frac{r_{1} }{3} ,\; \; r_{1} =3r=3\cdot \sqrt{R_{1} \cdot R_{2} } ,\]
r₁ = 6 Ом.