Решение: волновая функция для частицы в потенциальной яме
\[ \psi _{n} \left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}} \cdot \sin \frac{\pi nx}{l}. \]
Здесь l – ширина ящика, n – номер состояния. Основное состояние соответствует n = 1, тогда второе возбуждённое состояние соответствует n = 3, третье возбуждённое n = 4.
Вероятность обнаружить частицу на участке одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле:
\[ \omega =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|\psi _{n} \left(x\right)\right|^{2} dx. \]
По условию задачи x1 = 0, x2 = l/4 – частица в первой четверти ящика. Тогда
\[ \begin{array}{l} {\omega =\frac{2}{l} \cdot \int _{0}^{l/4}\sin ^{2} \frac{\pi nx}{l} \cdot dx=\frac{2}{l} \cdot \int _{0}^{l/4}\frac{1}{2} \cdot \left(1-\cos \frac{2\pi nx}{l} \right) \cdot dx=} \\ {=\frac{1}{l} \cdot \left. \left(x-\frac{l}{2\pi n} \sin \frac{2\pi nx}{l} \right)\right|_{0}^{l/4} =\left. \left(\frac{x}{l} \right)\right|_{0}^{l/4} \left. -\left(\frac{1}{2\pi n} \sin \frac{2\pi nx}{l} \right)\right|_{0}^{l/4} =} \\ {=\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi n} \sin \frac{\pi n}{2}.} \end{array} \]
При n = 3
\[ \omega =\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi \cdot 3} \sin \frac{\pi \cdot 3}{2} =\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi \cdot 3} \cdot \left(-1\right)=\frac{1}{4} +\frac{1}{6\pi } =0,30. \]
При n = 4
\[ \omega =\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi \cdot 4} \cdot \sin \frac{\pi \cdot 4}{2} =\frac{1}{4} -\frac{1}{8\pi } \cdot \left(0\right)=\frac{1}{4} =0,25. \]
