Предположим, что искомая точка лежит между точками А и С. Определим направление векторов индукции полей, созданных каждым проводником (для определения направлений используем правило правой руки или правило буравчика для прямого проводника) (рис. 1).
Аналогично можно определить направления векторов на остальных участках: 1) левее точки А; 3) между C и D; 4) правее точки D (см. рис. 2).
Из рисунка 2 видно, что индукция не может быть равна нулю только на участке 3, т.к. все вектора направлены в одну сторону. Обозначим AC = CD = r, а расстояния до искомых точек — r1, r2, r3 (см. рис. 2). Рассмотрим каждый из возможных участков по отдельности.
1) Левее точки А.
\[B_{1\;} +B_{2} -B_{3} =\frac{\mu _{0} \cdot I_{1}}{2\pi \cdot r_1} +\frac{\mu _{0} \cdot I_{2}}{2\pi \cdot \left(r+r_1 \right)} -\frac{\mu _{0} \cdot I_{3}}{2\pi \cdot \left(2r+r_1 \right)} =\frac{\mu _{0} \cdot I}{2\pi} \cdot \left(\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r+r_1} -\frac{2}{2r+r_1} \right)=0.\]
Решим полученное уравнение относительно r1 (учтем при этом, что дробь равна нулю, если равен нулю числитель, и r1 > 0). Например,
\[\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r+r_1} -\frac{2}{2r+r_1} =0,\; \; \frac{\left(r+r_1 \right)\cdot \left(2r+r_1 \right)+r_1 \cdot \left(2r+r_1 \right)-2r_1 \cdot \left(r+r_1 \right)}{r_1 \cdot \left(r+r_1 \right)\cdot \left(2r+r_1 \right)} =0,\]
\[2r^{2} +3r\cdot r_1 +r_{1}^{2} +2r\cdot r_1 +r_{1}^{2} -2r\cdot r_1 -2r_{1}^{2} =2r^{2} +3r\cdot r_1 =0.\]
Уравнение не имеет положительных корней. Следовательно, левее точки А индукция не может равняться нулю.
2) Между А и С.
\[-B_{1\;} +B_{2} -B_{3} =\frac{\mu _{0} \cdot I}{2\pi} \cdot \left(-\frac{1}{r_2} +\frac{1}{r-r_2} -\frac{2}{2r-r_2} \right)=0.\]
Решим полученное уравнение относительно r2. Например,
\[-\frac{1}{r_2} +\frac{1}{r-r_2} -\frac{2}{2r-r_2} =0,\; \; \frac{-\left(r-r_2 \right)\cdot \left(2r-r_2 \right)+r_2 \cdot \left(2r-r_2 \right)-2r_2 \cdot \left(r-r_2 \right)}{r_2 \cdot \left(r-r_2 \right)\cdot \left(2r-r_2 \right)} =0,\]
\[-2r^{2} +3r\cdot r_2 -r_{2}^{2} +2r\cdot r_2 -r_{2}^{2} -2r\cdot r_2 +2r_{2}^{2} =-2r^{2} +3r\cdot r_2 =0,\; \; r_{2} =\frac{2r}{3} ,\]
r2 = 3,3 см.
Магнитная индукция равна нулю правее точки А на 3,3 см.
4) Правее точки D.
\[-B_{1\;} -B_{2} +B_{3} =\frac{\mu _{0} \cdot I}{2\pi} \cdot \left(-\frac{1}{2r+r_{3}} -\frac{1}{r+r_{3}} +\frac{2}{r_{3}} \right)=0.\]
Решим полученное уравнение относительно r3. Например,
\[-\frac{1}{2r+r_{3}} -\frac{1}{r+r_{3}} +\frac{2}{r_{3}} =0,\; \; \frac{-r_3 \cdot \left(r+r_3 \right)-r_3 \cdot \left(2r+r_3 \right)+2\cdot \left(2r+r_3 \right)\cdot \left(r+r_3 \right)}{r_3 \cdot \left(r+r_3 \right)\cdot \left(2r+r_3 \right)} =0,\]
\[-r\cdot r_3 -r_{3}^{2} -2r\cdot r_3 -r_{3}^{2} +4r^{2} +6r\cdot r_3 +2r_{3}^{2} =4r^{2} +3r\cdot r_3 =0.\]
Уравнение не имеет положительных корней. Следовательно, правее точки D индукция не может равняться нулю.
