Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге

[Антон Огурцевич]

Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости v₀ равен S. Коэффициент трения f. Силу сопротивления воздуха считать постоянной. Чему равен тормозной путь этого автомобиля при той же скорости на спуске альфа? Сделать рисунок.

[alsak]

Будем считать, что фраза «на спуске альфа» означает «наклонная плоскость под углом α к горизонту».

На автомобиль действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_t), сила сопротивления (F_c) (сила тяги F = 0, т.к. автомобиль тормозит).

1 часть задачи: на горизонтальной поверхности.
Запишем второй закон Ньютона (рис. 1):
\[m\cdot \vec{a}=\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr} +\vec{F}_{c} ,\; \; 0Y:\; \; 0=N-m\cdot g,\]
\[0X:\; \; m\cdot a_{x} =-F_{tr} -F_{c} =-f\cdot N-F_{c} =-f\cdot m\cdot g-F_{c} ,\; \; a_{x} =-f\cdot g-\frac{F_{c} }{m} .\]
Ускорение можно было найти и через тормозной путь (см. рис. 1), поэтому:
\[\Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} }{2a_{x} } ,\; \; s=\frac{-\upsilon _{0}^{2} }{2a_{x} } ,\; \; a_{x} =\frac{-\upsilon _{0}^{2} }{2s} =-f\cdot g-\frac{F_{c} }{m} ,\; \; \frac{F_{c} }{m} =\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2s} -f\cdot g.\; \; \; (1),\]
где υ_х = 0, т.к. автомобиль остановился.

[alsak]

2 часть: движение по наклонной плоскости.
Запишем второй закон Ньютона (рис. 2):
\[\begin{array}{c} {m\cdot \vec{a}_{2} =\vec{N}_{2} +m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr2} +\vec{F}_{c} ,\; \; 0Y:\; \; 0=N_{2} -m\cdot g\cdot \cos \alpha ,} \\ {} \\ {0X:\; \; m\cdot a_{2x} =-F_{tr2} +m\cdot g\cdot \sin \alpha -F_{c} =-f\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha +m\cdot g\cdot \sin \alpha -F_{c} .} \end{array}\]
Тогда, с учетом уравнения (1), получаем:
\[a_{2x} =\left(-f\cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right)\cdot g-\frac{F_{c} }{m} =\left(-f\cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right)\cdot g-\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2s} +f\cdot g.\]
Автомобиль будет тормозить, если a_2x < 0 или
\[\left(-f\cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right)\cdot g-\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2s} +f\cdot g<0.\; \; \; (2)\]
Если выполняется неравенство (2), то тормозной путь на наклонной плоскости будет равен (см. рис. 2):
\[\Delta r_{2x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} }{2a_{2x} } ,\; \; s_{2} =\frac{\upsilon _{0}^{2} }{\left(f\cdot \cos \alpha -\sin \alpha \right)\cdot g+\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2s} -f\cdot g} .\]
Если неравенство (2) не выполняется, то автомобиль не остановится.