Сила тока в проводнике сопротивлением

[Антон Огурцевич]

Сила тока в проводнике сопротивлением 5 Ом изменяется со временем по закону I(t) = I₀•e^-β•t, где I₀ = 20 А, β = 10^-2 с^-1. Вычислите количество теплоты, выделившееся в проводнике за время 100 с. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: количество теплоты, выделяющиеся в проводнике при прохождении тока за время dt по закону Джоуля-Ленца
\[ dQ=I^{2} \cdot R\cdot dt. \]
Тогда полная теплота за время τ = 100 с может быть найдена интегрированием элементарного количества теплоты
\[ \begin{array}{l} {Q=\int dQ =\int _{0}^{\tau }\left(I_{0} \cdot e^{-\beta \cdot t} \right)^{2} \cdot R\cdot dt =I_{0}^{2} \cdot R\cdot \int _{0}^{\tau }e^{-2\cdot \beta \cdot t} \cdot dt =\left. \left(-\frac{I_{0}^{2} \cdot R}{2\cdot \beta } \cdot e^{-2\cdot \beta \cdot t} \right)\right|_{0}^{\tau } ,} \\ {Q=\frac{I_{0}^{2} \cdot R}{2\cdot \beta } \left(1-e^{-2\cdot \beta \cdot \tau } \right).} \end{array} \]
Ответ: 8,68•10⁴ Дж.