Определите работу, совершенную источниками тока

[Антон Огурцевич]

В схеме, приведённой на рис. 32, E₁ = 20 В, E₂ = 25 В, R₁ = 10 Ом, R₂ = 15 Ом, внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Определите работу, совершенную источниками, и полное количество выделившейся теплоты за интервал времени Δt = 0,5 c на R₃ = 82 Ом. Сделать рисунок.
Вторая часть задачи.
Найдите величины токов в отдельных ветвях цепи и напряжение на сопротивлении R, использовав условие предыдущей задачи, если в источнике E₁ поменять полюса. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус, если понижают.
Первая часть решения.
Определим токи которые проходят через все резисторы и источники.
Составим уравнения (рис 1).

I₁ + I₂ = I₃   (1).
E ₂ = I₃∙R₃ + I₂∙R₂    (2).
E ₁ = I₃∙R₃ + I₁∙R₁   (3).

Из (3) выразим I₁, из (2) выразим I₂, подставим I₁ и I₂ в (1) выразим I₃:

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}\ \ \ (4),\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}\ \ \ (5), \\
 & \ {{I}_{3}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}},\ I=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}, \\
 & {{I}_{3}}+\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}+\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}}{1+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{2}}}}\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

I₃ = 0,25 А, 
Подставим I₂ в (4) и (5) найдем токи I₁ и I₂.
 I₁ = -0,05 А, (Ток течет против выбранного нами направления).
 I₂ = 0,3 А.
Работу совершенную каждым источником определяется по формуле:

\[  A=\xi \cdot I,\ {{A}_{1}}={{\xi }_{1}}\cdot {{I}_{1}}\ \ \ (7),\ {{A}_{2}}={{\xi }_{2}}\cdot {{I}_{2}}\ \ \ (8\ ).\  \]

А₁ = - 1,0 Дж, А₂ = 7,5 Дж.
Полное количество выделившейся теплоты за интервал времени на резисторе R3 определим по формуле:

Q₃ = I²₃∙R₃∙∆t   (9).

Q₃ =2,5625 Дж.
Вторая часть решения.
Определим токи которые проходят через все резисторы.
Составим уравнения (рис 2).

I₃ + I₂ = I₁   (1).
E ₂ = -I₃∙R₃ + I₂∙R₂    (2).
E ₁ = I₃∙R₃ + I₁∙R₁   (3).

Из (3) выразим I₁, из (2) выразим I₂, подставим I₁ и I₂ в (1) выразим I₃:

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}\ \ \ (4),\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}+{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}\ \ \ (5), \\
 & \ {{I}_{3}}={{I}_{1}}-{{I}_{2}},\ I=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{2}}+{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}, \\
 & {{I}_{3}}+\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{-\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}+\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}}{1+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{2}}}}\ \ \ (6). \\
\end{align}
 \]

  I₃ = 0,0227 А.Подставим I₃ в (4) и (5) найдем токи I₁ и I₂.
I₁ = 1,814 А, 
 I₂ = 1,79 А.
Напряжение на сопротивлении определим используя закон Ома.

U = I∙R, U₁ = I₁∙R₁, U₂ = I₂∙R₂, U₃ = I₃∙R₃  (7).

U₁ = 18,14 В, U₂ = 26,85 В, U₂ = 1,86 В,