Протон с кинетической энергией

[Антон Огурцевич]

Протон с кинетической энергией 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Вычислите, во сколько раз изменился релятивистский импульс протона. Сделать рисунок.

[Сергей]

 Решение.
Запишем релятивистскую формулу для нахождения импульса протона:

\[ p=\frac{{{m}_{0}}\cdot \upsilon }{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\ \ \ (1). \]

m₀ – масса протона, m₀ = 1,67∙10^-27 кг.
Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & T=(m-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}}=(\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}},\ \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}=(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}}}), \\
 & \upsilon =c\cdot \sqrt{1-{{(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}}})}^{2}}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

По условию задачи Т₁ = 3 ГэВ = 3∙10⁹∙1,6∙10^-19 Дж = 4,8∙10^-10 Дж. Протон потерял треть энергии.
Т₂ = 2 ГэВ = 2∙10⁹∙1,6∙10^-19 Дж = 3,2∙10^-10 Дж. с = 3∙10⁸ м/с.
Подставим (2) в (1) определим импульс релятивистской частицы.

\[ \begin{align}
  & p=\frac{{{m}_{0}}\cdot \upsilon }{{{c}^{2}}}\cdot (\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (3). \\
 & {{p}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (4),\ {{p}_{2}}=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]

Определим релятивистское изменение импульса.

\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=\frac{\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}}{\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}}=\frac{\sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}+1)}^{2}}-1}}{\sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}+1)}^{2}}-1}}=1,37. \]