Решение.
Определим кинетическую энергию фотона после увеличения импульса.
Запишем релятивистскую формулу для нахождения импульса протона:
\[ {{p}_{2}}=m\cdot {{\upsilon }_{2}}^{2}=\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }_{2}}^{2}}{{{c}^{2}}}}}\ \ \ (1). \]
m0 – масса протона,
m0 = 1,67∙10
-27 кг.
Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется по формуле:
\[ \begin{align}
& {{T}_{2}}=(m-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}}=(\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }_{2}}^{2}}{{{c}^{2}}}}}-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}},\ \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }_{2}}^{2}}{{{c}^{2}}}}=(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}_{2}}^{2}}), \\
& {{\upsilon }_{2}}=c\cdot \sqrt{1-{{(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}}})}^{2}}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
Подставим (2) в (1) определим кинетическую энергию релятивистской частицы.
\[ \begin{align}
& {{p}_{2}}=\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{{{c}^{2}}}\cdot (\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (3). \\
& {{T}_{2}}={{m}_{0}}\cdot (\sqrt{{{(\frac{{{p}_{2}}\cdot c}{{{m}_{0}}})}^{2}}+{{c}^{4}}}-{{c}^{2}})\ \ \ (4).\ \\
\end{align} \]
Определим начальный импульс фотона. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя.
\[ {{T}_{1}}={{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}\ \ \ (5),{{p}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}\cdot c}{{{c}^{2}}}\cdot (\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ =\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}=\ {{m}_{0}}\cdot c\cdot \sqrt{3}\ \ (6). \]
По условию задачи импульс увеличился в два раза:
\[ {{p}_{2}}=2\cdot {{p}_{1}},\ {{p}_{2}}=2\cdot {{m}_{0}}\cdot c\cdot \sqrt{3}\ \ \ (7). \]
(7) подставим в (4) (4) разделим на (5), определим во сколько раз возрастёт его кинетическая энергия.(7) подставим в (4) (4) разделим на (5), определим во сколько раз возрастёт его кинетическая энергия.
\[ \begin{align}
& \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{m}_{0}}\cdot (\sqrt{{{(\frac{{{p}_{2}}\cdot c}{{{m}_{0}}})}^{2}}+{{c}^{4}}}-{{c}^{2}})}{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}\ =\frac{\sqrt{{{(\frac{2\cdot \sqrt{3}\cdot {{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}{{{m}_{0}}})}^{2}}+{{c}^{4}}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\ \frac{\sqrt{{{(2\cdot \sqrt{3}\cdot {{c}^{2}})}^{2}}+{{c}^{4}}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\ = \\
& \frac{\sqrt{12\cdot {{c}^{4}}+{{c}^{4}}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\sqrt{13}-1=2,6\ \ \ (8\ ).\ \\
\end{align}
\]
